Hướng tới kỳ thi Vietnam TST 2014

[namdung]

Nguyên văn bởi hothevinh

Thay nam dung cho em hỏi 45 bạn thi TST 2013 co bạn nào giải được bài 6 không ạ và thầy có nhận xét gì về bài 6 năm đó ạ

Năm đó không ai đạt điểm tối đa bài này.Tôi đánh giá bài 6 là một bài hay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungno]

Mình xin góp 1 bài:
2 đống sỏi:đống 1 có a viên;đống 2 có b viên.2 người chơi trò chơi như sau:mỗi người đến lượt của mình lấy 1 số sỏi tùy ý từ 1 đống hoặc lấy từ cả 2 đống với số sỏi bằng nhau.người bốc viên sỏi cuối cùng là người chiến thắng.hãy tìm tất cả các giá trị (a;b) để người đi sau có chiến thuật để thắng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi trungno

Mình xin góp 1 bài:
2 đống sỏi:đống 1 có a viên;đống 2 có b viên.2 người chơi trò chơi như sau:mỗi người đến lượt của mình lấy 1 số sỏi tùy ý từ 1 đống hoặc lấy từ cả 2 đống với số sỏi bằng nhau.người bốc viên sỏi cuối cùng là người chiến thắng.hãy tìm tất cả các giá trị (a;b) để người đi sau có chiến thuật để thắng.

Bài này là 1 dạng Nim, cụ thể là trò chơi Wythoff. Mình có post tại đây 1 lần và đáp số có nêu trong đó.

http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=41750
------------------------------

Nguyên văn bởi hothevinh

Anh huynhcongbang có dap an de thi tst trung quoc năm 2013 với năm 2011 không nếu có anh post lên nhe

Anh không có em à.
Đề China TST thì em tham khảo nội dung trên mathlink ấy. Trên đó người ta cũng có giải khá đầy đủ, có bài nào thắc mắc thì em cứ trao đổi trực tiếp trên đó hoặc post lên MS để mọi người cùng thảo luận thôi.

Gõ 1 file lời giải như đề TST 2012 thì tốn cả tháng trời, lời giải đa số là đọc hiểu mà còn chưa biết đúng hay sai. Thật khó để làm tiếp với đề 2011, 2013 khi đang không có nhiều thời gian và thiếu động lực.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi hothevinh

Anh huynhcongbang anh có bài kiểm tra và bài giảng của trường xuân toán học hà nội năm 2014,2013,2012 không nếu có anh post lên cho em nhé

Các tài liệu đó thì chỉ có các bạn trực tiếp tham gia mới có được thôi em à. Em có quen ai thì hỏi xin thử chứ anh thì không có rồi.

Dưới đây là đề thi và đáp án đề trường Xuân của TPHCM 2014. Mọi người tham khảo thử nhé!

Ngoài ra có cái kết quả thi thử đợt vừa rồi, đính kèm để mọi người xem thử (có giấu tên các nhân vật)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Tồn tại hay không một dãy số $a_n $ nguyên dương, tăng ngặt mà ước nguyên tố lớn nhất của ${a_n}^2+1 $ là một số nguyên tố p cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi kien10a1

Tồn tại hay không một dãy số $a_n $ nguyên dương, tăng ngặt mà ước nguyên tố lớn nhất của ${a_n}^2+1 $ là một số nguyên tố p cố định.

Nếu hỏi thế này thì có thể phân tích 1 tí như bên dưới:

Xét thử $p=2$. Nếu có một dãy thỏa mãn đề bài thì phương trình $x^2+1=2^y$ có vô số nghiệm.
Tuy nhiên, điều này là không thể do $x$ lẻ và $(x-1)(x+1)=2(2^{y-1}-1)$, buộc $x=1,y=1$.

Do đó, có thể dự đoán câu trả lời là phủ định.

Góp ý cho vui thôi.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Nếu hỏi thế này thì có thể phân tích 1 tí như bên dưới:

Xét thử $p=2$. Nếu có một dãy thỏa mãn đề bài thì phương trình $x^2+1=2^y$ có vô số nghiệm.
Tuy nhiên, điều này là không thể do $x$ lẻ và $(x-1)(x+1)=2(2^{y-1}-1)$, buộc $x=1,y=1$.

Do đó, có thể dự đoán câu trả lời là phủ định.

Góp ý cho vui thôi.

Nếu mà đưa p lên lớn hơn thì nó có thể có nhiều ước nguyên tố mà anh, lúc đó thì cũng hơi không chắc...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi kien10a1

Nếu mà đưa p lên lớn hơn thì nó có thể có nhiều ước nguyên tố mà anh, lúc đó thì cũng hơi không chắc...

À, thực ra nội dung anh post ở trên chỉ là dự đoán thôi.
Đúng là câu trả lời là phủ định, có thể tham khảo nội dung của 2 bài báo này:

http://www.emis.de/journals/AMI/2004/acta2004-luca.pdf

Trong đó có phát biểu 1 câu:
Nếu $P(x^2+1) < K$ thì $x < \exp ( \exp (O(k \log_2 k / \log k)))$, trong đó kí hiệu $P(n)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$.

Như thế ứng với mỗi số nguyên tố $p$ cho trước thì số lượng $x$ sao cho $P(x^2+1)=p$ là hữu hạn, tức là không tồn tại dãy tăng ngặt vô hạn như đề bài yêu cầu.

Một số bài báo khác về vấn đề gpf (greatest prime factor) này:

Định nghĩa và tính chất:
http://mathworld.wolfram.com/GreatestPrimeFactor.html

Về số có dạng $(ab+1)(bc+1)(ca+1)$:
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa79/aa79110.pdf

Về số nguyên tố Mersen hay rộng hơn là số có dạng $2^n-1$:
https://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/murata4.pdf
http://www.renyi.hu/conferences/erdo...es/stewart.pdf

Về số có dạng $n^2-1$:
http://www.math.leidenuniv.nl/~fnajman/FLFNMC.pdf

Về số có dạng $ab+1$:
http://arxiv.org/pdf/1311.1161v2.pdf

Về số có dạng $n!+1$:
https://www.renyi.hu/~p_erdos/1976-27.pdf

Ngoài ra, còn có các bài viết về hàm spf (smallest prime factor) đặc biệt dùng nhiều trong các bài toán về bậc và căn nguyên thủy. Mọi người cũng có thể search google để nghiên cứu thêm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

bài 47: Cho $n$ là số nguyên dương tập hợp các bộ số sau:
$S_n=\{(a_1,a_2,...,a_{2^n})|a_i= 0; 1, \forall i=\overline{1,n} \}$.
Với 2 phần tử $a=(a_1,a_2,...,a_{2^n})$ và $b=(b_1,b_2,...,b_{2^n})$, đặt $d(a,b)=\sum\limits_{i=1}^{2^n}|a_i-b_i|$.
Tập con $A$ của $S$ là tập tốt nếu $d(a,b) \ge 2^{n-1}$ với mọi cặp $a,b$ phần tử phân biệt của $A$. Hỏi một tập con tốt của $S_n$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

bài 47: Cho $n$ là số nguyên dương tập hợp các bộ số sau:
$S_n=\{(a_1,a_2,...,a_{2^n})|a_i= 0; 1, \forall i=\overline{1,n} \}$.
Với 2 phần tử $a=(a_1,a_2,...,a_{2^n})$ và $b=(b_1,b_2,...,b_{2^n})$, đặt $d(a,b)=\sum\limits_{i=1}^{2^n}|a_i-b_i|$.
Tập con $A$ của $S$ là tập tốt nếu $d(a,b) \ge 2^{n-1}$ với mọi cặp $a,b$ phần tử phân biệt của $A$. Hỏi một tập con tốt của $S_n$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử.

Có một bài thế này:

Cho dãy hữu hạn có độ dài $n$ và các phần tử là 0 hoặc 1. Khoảng cách giữa hai dãy chính là số vị trí mà phần tử tương ứng ở hai dãy khác nhau. Xét $m$ dãy tùy ý và khoảng cách giữa hai dãy bất kỳ đều không vượt quá $d$. Chứng minh rằng $m\le \frac{2d}{2d-n}$.

Bài này có thể giải bằng cách dùng double counting. Tuy nhiên, ở đây thú vị là $2d=n$ nên đánh giá ở trên trở thành vô ích vì $m \le + \infty$. Mời các bạn góp ý thêm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Có một bài thế này:

Cho dãy hữu hạn có độ dài $n$ và các phần tử là 0 hoặc 1. Khoảng cách giữa hai dãy chính là số vị trí mà phần tử tương ứng ở hai dãy khác nhau. Xét $m$ dãy tùy ý và khoảng cách giữa hai dãy bất kỳ đều không vượt quá $d$. Chứng minh rằng $m\le \frac{2d}{2d-n}$.

Bài này có thể giải bằng cách dùng double counting. Tuy nhiên, ở đây thú vị là $2d=n$ nên đánh giá ở trên trở thành vô ích vì $m \le + \infty$. Mời các bạn góp ý thêm.

Em thấy bài 47 nó khá gần với bài toán này: "Chứng minh rằng không thể có nhiều hơn 4096 cây nhị phân độ dài 24 sao cho 2 cây bất kì trong chúng có ít nhất 8 vị trí khác nhau". Mò mẫm một hồi thì ra đáp án là $2^{n+1}$ nhưng vẫn chưa biết giải thích sao.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Mình xin đóng góp một bài sau:
Bài 48:Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$.$D$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$.Kẻ đường kính $DE$.$BE$ cắt đường trung trực của $AD$ tại $K$.Qua $E$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $KO$ tại $P$.$AP$ cắt $KD$ tại $N$.Chứng minh:$K,B,P,N$ đồng viên và $N$ thuộc $(O)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Manhnguyen]

Nguyên văn bởi mathandyou

Mình xin đóng góp một bài sau:
Bài 48:Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$.$D$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$.Kẻ đường kính $DE$.$BE$ cắt đường trung trực của $AD$ tại $K$.Qua $E$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $KO$ tại $P$.$AP$ cắt $KD$ tại $N$.Chứng minh:$K,B,P,N$ đồng viên và $N$ thuộc $(O)$.

Theo cách làm của em thì mấu chốt nằm ở Cm $AB\perp BP$
Để Cm điều đó ta làm theo các bước:
-Kẻ đường cao $EL$ xuống $AC$, $OQ$ xuống $AD$
-Cm $\triangle OQD$ đồng dạng $\triangle ELC$
-Cm $\triangle BQD$ đồng dạng $\triangle BLC$
-Cm $\triangle BQL$ đồng dạng $\triangle BDC$
-Cm $ALQB$ nội tiếp=>$AB\perp BP$
$KD$ cắt $(O)$ tại $N'$
Ta Cm:
-Cm $\triangle PBK$ đồng dạng $\triangle ABD$
-Cm $\triangle PAB$ đồng dạng $\triangle KDB$
-$A,N',P$ thẳng hàng=>$N$ trùng $N'$=>đpcm
Từ đó dễ dàng Cm được $PBKN$ nội tiếp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Thật ra anh chế bài này là từ bài:[Only registered and activated users can see links. ]
Và cái hình của nó khi anh chế đây:
Tuy nhiên cách giải của chú giải chắc cũng klq lắm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

bài 47: Cho $n$ là số nguyên dương tập hợp các bộ số sau:
$S_n=\{(a_1,a_2,...,a_{2^n})|a_i= 0; 1, \forall i=\overline{1,n} \}$.
Với 2 phần tử $a=(a_1,a_2,...,a_{2^n})$ và $b=(b_1,b_2,...,b_{2^n})$, đặt $d(a,b)=\sum\limits_{i=1}^{2^n}|a_i-b_i|$.
Tập con $A$ của $S$ là tập tốt nếu $d(a,b) \ge 2^{n-1}$ với mọi cặp $a,b$ phần tử phân biệt của $A$. Hỏi một tập con tốt của $S_n$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử.

Google với từ khóa plotkin bound sẽ có nhiều thứ hay ho về vấn đwè trên đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]