Đề thi chọn đội tuyển HSG TP Hà Nội (V2)

[hoangquan_9x]

Bài I (4điểm)
1, Chứng minh rằng các số $3,3^2,3^3,....,3^{41}$ khi chia cho $83$ được $41$ số dư khác nhau.

2, Cho $a,b,c$ là các hằng số dương .Giải HPT sau:

$$\left\{\begin{matrix}
ax+by=(x-y)^2 & & \\
by+cz=(y-z)^2 & &\\
cz+ax=(z-x)^2 & &
\end{matrix}\right.$$

Bài II (4điểm)
Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$.Tìm GTLN của biểu thức.

$$P=(3-a)(3-b)(3-c)(\dfrac{1}{b^2c^2}+\dfrac{1}{c^2a^2}+\dfrac{1}{a ^2b^2})$$

Bài III (4điểm)
Cho dãy số $x_{1}=20,x_{2}=30,x_{n+2}=3x_{n+1}-x_{n}$, với $n\in N,n \geq 1$.Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $5x_{n+1}.x_{n}+1$ là số chính phương.

Bài IV (4điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và nội tiếp đường tròn tâm $O$ .Gọi $E,F,I$ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$ , $AD$ và $BC$, $AC$ và $BD$ .Đường phân giác của các góc $\widehat{AED} $ và $ \widehat{AFB}$ cắt nhau tại $H$ .Gọi $K$ là điểm chung thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABI$ và đường tròn ngoại tiếp ta giác $CDI$ .Chứng minh $4$ điểm $E,F,H,K$ nằm trên một đường tròn.

Bài V (4điểm)
Xác định hàm số liên tục $f:R_{+}^{*}\rightarrow R_{+}^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1, $f(2x)=2f(x)$

2, $f\left ((f(x))^3(e^{f(x)}-1) \right )=x^2(e^x-1)f(x)$, $\forall x \in R_{+}^{*} $

3, $f(e-1)=(e-1)f(1)$

4, $f(k)$ là số nguyên dương với mọi số nguyên $k$

($R_{+}^{*}$ là tập các số thực dương)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]