Đề thi HSG Olympic 27/4 năm 2014 BRVT

[k30101201]

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 KHỐI 11 NĂM 2014
Bài 1.
1. Giải phương trình $2\cos^2x(1+\cot x)-2\sin^2x+1=0 $
2. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức $\cos2A+\sqrt{2}(\cos2B+\cos2C)+2=0 $
Bài 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng ba chữ số sau 1 đơn vị.
Bài 3.
1. Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân được vuông góc hạ từ O đến (ABC).
a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng $a.S_{HBC}+b.S_{HAC}+c.S_{HAB}\leq\frac{abc\sqrt{3} }{2} $
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2CD=2AD, SA vuông góc với đáy tại A. Gọi M là trung điểm của SC, K là điểm di động trên AB. Tìm tập hợp hình chiếu của H của M lên CK.
Bài 4.
1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_n) $ xác định bởi $x_1=2015,x_{n+1}=(1-\frac{1}{(n+1)^2})x_n+\frac{2014}{(n+1)^2} $
2. Cho dãy số $(x_n) $ xác định bởi $x_1=1,x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+\frac{2n+1}{3^n}} $. Tính giới hạn dãy số $(x_n) $
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số $f:R\to R $ thỏa mãn điều kiện $f(x-f(y))=f(x+f(y))+4f(x) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]