Đề thi HSG Olympic 27/4 Toán 10 năm 2014 BRVT

[k30101201]

Đề thi HSG Olympic 27/4 Toán 10 năm 2014 BRVT
Bài 1.
1. Giải phương trình $\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}=2-x^2 $
2. Giải hệ phương trình $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1 $ và $\sqrt{2x-1}+1=y(x-3) $
Bài 2. Cho hàm số $y=x^2-2x+m+2 $ có đồ thị là (P) và điểm M(1;-2). Tìm tất cả các giá trị của m để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Bài 3.
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh D(1;-3) và phương trình một đường chéo là $2x+y-4=0 $. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2. Cho số dương a, b, c thỏa mãn a.b.c=1. Chứng minh rằng $\frac{a}{2b+1}+\frac{b}{2c+1}+\frac{c}{2a+1}\geq 1 $
Bài 4. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $2(\cot MAB+\cot MAC)=9\cot A $ và $bc\leq 2(1+\sqrt{10})R.r $
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ cho 13 điểm nguyên sao cho không có ba điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tồn tại trong đó ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có trọng tâm cũng là điểm nguyên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]