Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2017-2018-Lời giải và bình luận

[MATHSCOPE]

Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, www.mathscope.org mở lại chuyên mục này. Công việc này vừa là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo, vừa để thúc tiến các thảo luận của các thành viên Mathscope.

Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:

1. Các bài toán Đại Số.
2. Các bài toán Số Học.
3. Các bài toán Hình Học.
4. Các bài toán Giải Tích.
5. Các bài toán Rời Rạc.

Chúng tôi sẽ tập hợp các đề toán theo từng chủ đề, gửi lên đây và chúng ta có thể vào giải và bình luận. Có thể bình luận trực tiếp trong chủ đề này hoặc là gửi file đính kèm. Một số đề mà chúng tôi không chủ động sưu tập được, mong các thành viên đóng góp thêm.

Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học.

Các bài toán Số Học

$\boxed{1}$ [Hà Nội] Cho $x;\, y;\, z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.

$\boxed{2}$ [Hà Nội] Với mọi $n\in \left \{ 1;\,2;\,3 \right \}$, ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;\,n+2;\,(n+2)^{2};\,(n+2)^{3};\,...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.

$\boxed{3}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và
\[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\]

$\boxed{4}$ [Đắk Lắk] Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $\left(n^2+11n-4\right)n!+33.13^n+4$ là một số chính phương.

$\boxed{5}$ [Đắk Lắk] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con $X$ của $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2p\}$ biết $X$ có đúng $p$ phần tử và tổng các phần tử của $X$ là bội của $p$.

$\boxed{6}$ [Đắk Lắk] Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả
\[{a^2} + 35 = {5^b}{6^c}{7^d}\]

$\boxed{7}$ [Hoà Bình] Cho $a;\,b;\,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn
$$a+b+c=a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$
Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27.

$\boxed{8}$ [Hoà Bình] Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;\,b)$ sao cho$\left(a^2+b\right)\left(a+b^2\right)$ là một luỹ thừa của 2.

$\boxed{9}$ [Nghệ An] Số nguyên dương $m$ gọi là số hoàn hảo nếu tổng các ước nguyên dương của nó là $2m$. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $1+n^n$ là số hoàn hảo.

$\boxed{10}$ [Đồng Tháp] Có tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{(n+1)(6n+1)}{2017}$ là số chính phương?

$\boxed{11}$ [Đồng Tháp] Xét tập hợp $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2017\}$. Ta tô màu mỗi phần tử của $S$ bởi một trong năm màu là Xanh, Đỏ, Tím, Vàng và Nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt $a;\,b;\,c$ của $S$ có cùng màu và thoả mãn $a\mid b$ và $b\mid c$.

$\boxed{12}$ [Đồng Nai] Cho hai đa thức sau
\[\begin{align*}P(x)=&x^5+5x^4+5x^3+5x^2+1\\
Q(x)=&x^5+5x^4+3x^3-5x^2-1
\end{align*}\]
Tìm số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $a$ với $a<p$ thoả mãn $p$ là ước chung của $P(a)$ và $Q(a)$. Với $p$ tìm được, hãy tìm tất cả các số tự nhiên $a$ thoả mãn điều đó.

$\boxed{13}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên dương $a;\,b;\,c;\,d$ thoả mãn $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ và
\[{a^{2018}} + {b^{2018}} + {c^{2018}} + {d^{2018}} \;\text{là}\;\text{số}\;\text{nguyên}\;\text{t ố}. \]

$\boxed{14}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên $a;\,b$ thoả mãn $2^na+b$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

$\boxed{15}$ [Hà Nam] Tìm các bộ số nguyên dương $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả mãn
\[a^2+2^{b+1}=3^c\]

$\boxed{16}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi công thức sau: \[a_0=1;\,a_1=4;\,a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n\quad\forall \,n \in\mathbb N.\]
Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của 2017.

$\boxed{17}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $n$ là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}} + \dfrac {5}{\sqrt [7]{y}} = \dfrac {1}{n}$ có $m$ cặp nghiệm nguyên dương $(x;\,y)$ và $m-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $n$ là số chính phương.

$\boxed{18}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn với mọi $k$ nguyên dương, tồn tại $m$ nguyên dương sao cho $n$ là ước của $m^4+m^3+m^2+k$.

$\boxed{19}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $P(n)$ là ước của $3^n-1$ với mọi số nguyên dương $n$ và $P(2017=1)$.

$\boxed{20}$ [Thanh Hoá] Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương, thỏa mãn các điều kiện:
$$a|{{b}^{2}},\,\,\,\,{{b}^{3}}|{{a}^{4}},\,\,\,\, {{a}^{5}}|{{b}^{6}},\,\,\,\,{{b}^{7}}|{{a}^{8}},\, \,...$$
Chứng minh rằng $a=b$.

$\boxed{21}$ [Hà Tĩnh] Tìm tất cả các cặp số nguyên $\,(a;b)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, ta có $n$ chia hết cho $a^n+b^{n+1}$.

$\boxed{22}$ [Lào Cai] Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất của $12^{2^{15}}+1$.

$\boxed{23}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.


PS. Tôi gửi kèm file Số Học pdf, tex và word.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]