Chọn đội tuyển VMO Bắc Giang 2017

thepduc · 22-10-2017, 11:05 PM

Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số (un) được xác định như sau:
\[{{u}_{1}}=\frac{2018}{2017};\;\frac{{{u}_{1}}}{1}+ \frac{{{u}_{2}}}{2}+...+\frac{{{u}_{n}}}{n}=\frac{ n+1}{2}{{u}_{n}},\quad n=2,3,...\]
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {2017n + 2018} \right){u_n}}}{6}$.

Câu 2 (4 điểm). Cho $a;\, b;\, c$ là các số thực dương thoả mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Chứng minh rằng
\[\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}}+\sqrt{\frac {{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}}+\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+ {{a}^{2}}}{c+a}}+3\le \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\].
Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là hình chiếu của D lên EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt nhau tại P, Q (P, C cùng phía so với AD).
a) Chứng minh rằng DI là đường phân giác của góc BIC.
b) Chứng minh rằng PH, DE cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 4 (4 điểm). Cho hàm số $f:{{\mathbb{N}}^{*}}\to {{\mathbb{N}}^{*}}$ thoả mãn điều kiện
i) với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{*}}$ ta có $f(m) + f(n) > mn$.
ii) Với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{*}}$ thì $f(m) + f(n) – mn$ là một ước của $mf(m) + nf(n)$.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p > N$ thì $f(p) = p^2$.

Câu 5 (3 điểm). Cho bảng hình vuông gồm $m\times m$ ô vuông đơn vị. Trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên không âm. Giả sử rằng, nếu một hàng và một cột bất kì có giao là một ô vuông chứa số 0 thì tổng các số trên hàng đó cộng với tổng các số trên cột đó không bé hơn m. Chứng minh rằng tổng các số trên bảng ô vuông đó lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{{{m}^{2}}}{2}$.

22-10-2017, 11:05 PM	#1
thepduc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2017 Bài gởi: 5 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post	Chọn đội tuyển VMO Bắc Giang 2017 Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số (un) được xác định như sau: \[{{u}_{1}}=\frac{2018}{2017};\;\frac{{{u}_{1}}}{1}+ \frac{{{u}_{2}}}{2}+...+\frac{{{u}_{n}}}{n}=\frac{ n+1}{2}{{u}_{n}},\quad n=2,3,...\] Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {2017n + 2018} \right){u_n}}}{6}$. Câu 2 (4 điểm). Cho $a;\, b;\, c$ là các số thực dương thoả mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Chứng minh rằng \[\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}}+\sqrt{\frac {{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}}+\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+ {{a}^{2}}}{c+a}}+3\le \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\]. Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là hình chiếu của D lên EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt nhau tại P, Q (P, C cùng phía so với AD). a) Chứng minh rằng DI là đường phân giác của góc BIC. b) Chứng minh rằng PH, DE cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 4 (4 điểm). Cho hàm số $f:{{\mathbb{N}}^{}}\to {{\mathbb{N}}^{}}$ thoả mãn điều kiện i) với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{}}$ ta có $f(m) + f(n) > mn$. ii) Với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{}}$ thì $f(m) + f(n) – mn$ là một ước của $mf(m) + nf(n)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p > N$ thì $f(p) = p^2$. Câu 5 (3 điểm). Cho bảng hình vuông gồm $m\times m$ ô vuông đơn vị. Trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên không âm. Giả sử rằng, nếu một hàng và một cột bất kì có giao là một ô vuông chứa số 0 thì tổng các số trên hàng đó cộng với tổng các số trên cột đó không bé hơn m. Chứng minh rằng tổng các số trên bảng ô vuông đó lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{{{m}^{2}}}{2}$.