Phương trình hàm liên tục

[DenisO]

Tìm tất cả các hàm liên tục $ f:\left [ -1;1 \right ]\rightarrow \left [ -1;1 \right ] $ thỏa mãn
$$ f\left ( 2x^{2}-1 \right ) = f\left ( x \right ),\forall {x}\in \left [ -1;1 \right ] $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Juliel]

Nguyên văn bởi DenisO

Tìm tất cả các hàm liên tục $ f:\left [ -1;1 \right ]\rightarrow \left [ -1;1 \right ] $ thỏa mãn
$$ f\left ( 2x^{2}-1 \right ) = f\left ( x \right ),\forall {x}\in \left [ -1;1 \right ] $$

Lời giải :

Với mọi số thực $x\in \left [ -1,1 \right ]$, luôn tồn tại $a\in \left [ 0,\pi \right ]$ sao cho $x=\cos a$.
Ngược lại với mọi $a\in \left [ 0,\pi \right ]$ thì luôn tồn tại $x\in \left [ -1,1 \right ]$ để cho $a=\arccos x$.
Từ đó ta được :
$$f(\cos 2a)=f(\cos a),\;\forall a\in \left [ 0,\pi \right ]$$
Đặt $f(\cos x)=g(x)$ thì ta được :
$$g(2x)=g(x),\;\forall x\in \left [ 0,\pi \right ]$$
Do tính liên tục của $f$ nên $g$ cũng liên tục :
$$g(x)=g\left ( \dfrac{x}{2} \right )=g\left ( \dfrac{x}{2^2} \right )=...=g\left ( \dfrac{x}{2^n} \right ),\;\forall x\in \left [ 0,\pi \right ]$$
Kéo theo :
$$g(x)=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} g\left ( \dfrac{x}{2^n} \right )=g(0)=C=const$$
Suy ra :
$$f(x)=C,\;\forall x\in \left [ -1,1 \right ]$$
Với $C$ là một hằng số $-1\leq C \leq 1$.

Bài này mình nghĩ có thể cho $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ để đáp số $C$ là hằng số tùy ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]