Bài toán chứng minh dãy số nguyên dương

Livetolove2207 · 20-10-2014, 11:52 AM

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

$u_{1}=u_{2}=1, u_{3}=2$

và

$u_{n+3}=\frac{u_{n+1}.u_{n+2}+7}{u_{n}}$

với mọi số nguyên dương $n$.

Chứng minh rằng $u_{n}$ là số nguyên dương với mọi $n$ nguyên dương.

hieut1k24 · 20-10-2014, 07:53 PM

Theo giả thiết ta tính được $u_{4}=9,u_{5}=25$
Đặt $u_{n+2}=a*u_{n+1}+b*u_{n}+c$ ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
a+b+c=2\\2a+b+c=9
\\ 9a+2b+c=25

\end{matrix}\right.$
Giải ra ta được a=7,b=-33,c=28
$\Rightarrow u_{n+2}=7u_{n+1}-33u_{n}+28$
mà $u_{1}=u_{2}=1$ là số nguyên dương và $u_{n+3}=\frac{u_{n+1}*u_{n+2}+7}{u_{n}}> 0$ (do $u_{1},u_{2},u_{3}$ là các số nguyên dương)
$\Rightarrow u_{n}$ là số nguyên dương với mọi n nguyên dương.

conmeolatui · 20-10-2014, 08:30 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hieut1k24

Theo giả thiết ta tính được $u_{4}=9,u_{5}=25$
Đặt $u_{n+2}=a*u_{n+1}+b*u_{n}+c$ ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
a+b+c=2\\2a+b+c=9
\\ 9a+2b+c=25

\end{matrix}\right.$
Giải ra ta được a=7,b=-33,c=28
$\Rightarrow u_{n+2}=7u_{n+1}-33u_{n}+28$
mà $u_{1}=u_{2}=1$ là số nguyên dương và $u_{n+3}=\frac{u_{n+1}*u_{n+2}+7}{u_{n}}> 0$ (do $u_{1},u_{2},u_{3}$ là các số nguyên dương)
$\Rightarrow u_{n}$ là số nguyên dương với mọi n nguyên dương.

Thực ra để chứng minh 1 dãy số phi tuyến có công thức tuyến tính như trên thì bạn cần thêm 1 bước nữa là qui nạp.

Theo tính toán $U_6$ thì công thức truy hồi trên không đúng

Bài này bạn có thể giải bằng sai phân

vantienducdh · 20-10-2014, 10:04 PM

Tính được u(4)=9,u(5)=25
bằng sai phân ta tính được u(n+2)=13u(n)-u(n-2) mọi n nguyên dương lớn hơn 2
từ đó dễ dàng chứng minh được u(n) nguyên dương bằng quy nạp

20-10-2014, 11:52 AM	#1
Livetolove2207 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2014 Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn tỉnh Ninh Thuận Bài gởi: 63 Thanks: 65 Thanked 12 Times in 9 Posts	Bài toán chứng minh dãy số nguyên dương Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau: $u_{1}=u_{2}=1, u_{3}=2$ và $u_{n+3}=\frac{u_{n+1}.u_{n+2}+7}{u_{n}}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $u_{n}$ là số nguyên dương với mọi $n$ nguyên dương. __________________ Có Đức mà không có Tài, làm việc gì cũng khó; Có Tài mà không có Đức, là vô dụng. (Hồ Chí Minh)

20-10-2014, 07:53 PM	#2
hieut1k24 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2014 Bài gởi: 70 Thanks: 12 Thanked 24 Times in 23 Posts	Theo giả thiết ta tính được $u_{4}=9,u_{5}=25$ Đặt $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}+c$ ta có hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} a+b+c=2\\2a+b+c=9 \\ 9a+2b+c=25 \end{matrix}\right.$ Giải ra ta được a=7,b=-33,c=28 $\Rightarrow u_{n+2}=7u_{n+1}-33u_{n}+28$ mà $u_{1}=u_{2}=1$ là số nguyên dương và $u_{n+3}=\frac{u_{n+1}*u_{n+2}+7}{u_{n}}> 0$ (do $u_{1},u_{2},u_{3}$ là các số nguyên dương) $\Rightarrow u_{n}$ là số nguyên dương với mọi n nguyên dương.

20-10-2014, 10:04 PM	#4
vantienducdh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2014 Đến từ: 12 Toán THPT chuyên LQĐ-Quảng Trị Bài gởi: 45 Thanks: 35 Thanked 11 Times in 10 Posts	Tính được u(4)=9,u(5)=25 bằng sai phân ta tính được u(n+2)=13u(n)-u(n-2) mọi n nguyên dương lớn hơn 2 từ đó dễ dàng chứng minh được u(n) nguyên dương bằng quy nạp