Giới hạn dãy số

[conmeolatui]

Cho $U_1=a$ , $U_{n+1}=a^{U_{n}}$. Tìm tất cả các giá trị $a>0$ sao cho dãy ${U_{n}}$ có giới hạn hữu hạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi conmeolatui

Cho $U_1=a$ , $U_{n+1}=a^{U_{n}}$. Tìm tất cả các giá trị $a>0$ sao cho dãy ${U_{n}}$ có giới hạn hữu hạn

Nếu $a =1$ thì $U_n =1$ với mọi $n$ nên dãy hội tụ.

Nếu $0<a < 1$, thì $a^a < 1$ do đó $U_3 = a^{a^a} > a = U_1$. Dùng qui nạp suy ra dãy $U_{2n+1}$ tăng và dãy $U_{2n}$ giảm. Các dãy này bị chăn nên có tồn tại các giới hạn là $b,c \in (0,1)$. Từ định nghĩa dãy $U_n$ suy ra $b = a^c$ và $c = a^b$. Do hàm số $f(t) = a^t$ là hàm giảm chặt trên $(0,\infty)$ nên $b=c$, do đó dãy $U_n$ hội tụ.

Nếu $a >1$, khi đó dãy $U_n$ tăng. Nếu dãy $U_n$ hội tụ đến giá trị $b$ nào đó thì $b = a^b$ và $b > a$. Xét hàm $f(t) = t\ln a -\ln t$, ta có $f'(t) = \ln a -\frac1t$, do đó $f(t)$ giảm chặt trên $(0, \frac1{\ln a})$ và tăng chặt trên đoạn $(\frac1{\ln a}, \infty)$. Do đó $f(b) \geq f(\frac1{\ln a}) = 1+ \ln \ln a > 0$ nếu $a > e^{\frac1e}$ hay là $a^b > b$ nếu $a > e^{\frac1e}$ điều này vô lý, do đó nếu dãy $U_n$ hội tụ thì $a \leq e^{\frac1e}$. Ta chỉ ra rằng nếu $a \leq e^{\frac1e}$ thì dãy hội tụ. Thật vậy, $U_1 = a \leq e$, dùng qui nạp chứng minh rằng $U_n \leq e$ với mọi $n$ từ đó suy ra dãy hội tụ (vì dãy này tăng).

Vậy dãy $U_n$ hội tụ khi $0< a \leq e^{\frac1e}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]