Giải hệ phương trình

[kynamsp]

$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+...+x_n=0\\x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2 =0\\x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3=0\\... ............\\ x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1}+...+x_n^{n-1}=0\\ x_1^n+x_2^n+x_3^n+...+x_n^n=0 \end{cases} $. chứng minh rằng $x_1=x_2=...=x_n=0 $.
bài này mình xây dựng từ việc chứng minh $tr(A^k)=0 $ thì A lũy linh trong quá trình chứng minh thì gặp khó khăn khi giải hệ trên việc chứng minh hệ này mình có sử dụng phương pháp quy nạp nhưng phải dùng đến kiến thức đại số đại cương cũng hơi phức tạp mong nhận được sự ủng hộ của anh em trong diễn đàn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Việc chứng minh $tr(A^k)=0$ với $A$ là ma trận lũy linh, sử dụng giá trị riêng như thế này có được không nhỉ?
Ta có tính chất $\lambda $ là giá trị riêng của $M$ thì $\lambda ^k$ là giá trị riêng của $M^k$.
Vì $A$ là ma trận lũy linh nên nó chỉ có giá trị riêng duy nhất là $\lambda=0$, nên $A^k$ cũng chỉ có giá trị riêng là $\lambda'=0$.
Do đó, $tr(A^k)=\sum \lambda'_i=0$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kynamsp]

Nguyên văn bởi magician_14312

Việc chứng minh $tr(A^k)=0$ với $A$ là ma trận lũy linh, sử dụng giá trị riêng như thế này có được không nhỉ?
Ta có tính chất $\lambda $ là giá trị riêng của $M$ thì $\lambda ^k$ là giá trị riêng của $M^k$.
Vì $A$ là ma trận lũy linh nên nó chỉ có giá trị riêng duy nhất là $\lambda=0$, nên $A^k$ cũng chỉ có giá trị riêng là $\lambda'=0$.
Do đó, $tr(A^k)=\sum \lambda'_i=0$.

bạn hiểu nhầm rồi $Tr(A^k)=0 $ chứng minh A lũy linh. Chứ không phải A lũy linh chứng minh $Tr(A^k)=0 $ đâu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luciasiti]

Nguyên văn bởi kynamsp

$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+...+x_n=0\\x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2 =0\\x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3=0\\... ............\\ x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1}+...+x_n^{n-1}=0\\ x_1^n+x_2^n+x_3^n+...+x_n^n=0 \end{cases} $. chứng minh rằng $x_1=x_2=...=x_n=0 $.
bài này mình xây dựng từ việc chứng minh $tr(A^k)=0 $ thì A lũy linh trong quá trình chứng minh thì gặp khó khăn khi giải hệ trên việc chứng minh hệ này mình có sử dụng phương pháp quy nạp nhưng phải dùng đến kiến thức đại số đại cương cũng hơi phức tạp mong nhận được sự ủng hộ của anh em trong diễn đàn.

Đối với bài này bạn có thể sử dụng giả thiết $tr(A^k)=0 $ để chứng minh đa thức đặc trưng có dạng $(-1)^n\lambda ^n $. Từ đó suy ra $A^n=0 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hue]

Bài của bạn là: cho $tr(A^k)=0 $ chứng minh: $A $ lũy linh?
Gọi đa thức đặc trưng của $A $ là : $(-1)^n x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n $, với $x_1,\ldots,x_n $ là trị riêng của $A $.
Ta có : $\begin{cases} x_1 + \cdots + x_n = 0 \\ \cdots \\ x_1^n + \cdots + x_n^n = 0 \end{cases} $
Từ đó thì $a_n=0 $
Tiếp tục ta được $a_n=0, \ldots, a_1=0 $.
Vậy $A $ lũy linh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kynamsp]

Nguyên văn bởi hue

Bài của bạn là: cho $tr(A^k)=0 $ chứng minh: $A $ lũy linh?
Gọi đa thức đặc trưng của $A $ là : $(-1)^n x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n $, với $x_1,\ldots,x_n $ là trị riêng của $A $.
Ta có : $\begin{cases} x_1 + \cdots + x_n = 0 \\ \cdots \\ x_1^n + \cdots + x_n^n = 0 \end{cases} $
Từ đó thì $a_n=0 $
Tiếp tục ta được $a_n=0, \ldots, a_1=0 $.
Vậy $A $ lũy linh.

Cách làm này thì mình biết rồi ngoài cách làm này mình có thể sử dụng khối jordan nữa . Bài hệ của mình nếu không liên quan đến ma trận thì cách giải quyết sẻ thế nào
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thieu_dhsp]

Nguyên văn bởi hue

Bài của bạn là: cho $tr(A^k)=0 $ chứng minh: $A $ lũy linh?
Gọi đa thức đặc trưng của $A $ là : $(-1)^n x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n $, với $x_1,\ldots,x_n $ là trị riêng của $A $.
Ta có : $\begin{cases} x_1 + \cdots + x_n = 0 \\ \cdots \\ x_1^n + \cdots + x_n^n = 0 \end{cases} $
Từ đó thì $a_n=0 $
Tiếp tục ta được $a_n=0, \ldots, a_1=0 $.
Vậy $A $ lũy linh.

Bạn ơi,tại sao $a_n $=0 thế bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hue]

Nguyên văn bởi thieu_dhsp

Bạn ơi,tại sao $a_n $=0 thế bạn.

ta có: $x_1 $ ,....,$x_n $ là trị riêng nên:
(-${x_1})^n $+${x_1}^{n-1} $+...+$a_n $=0
....
(-${x_n})^n $+${x_n}^{n-1} $+...+$a_n $=0

cộng n phương trình trên ta được n.$a_n $=0
nên $a_n $=0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dhthtkd]

Cho mình hỏi chút là mệnh đề đó đúng khi có điều kiện : với mọi k thôi phải không?.
Một điều nữa là mới chỉ suy ra $ a_n $= 0 thôi , còn suy ra $ a_(n-1) $ ..............$ a_1 $= 0 thế nào ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leminhansp]

Nguyên văn bởi dhthtkd

Cho mình hỏi chút là mệnh đề đó đúng khi có điều kiện : với mọi k thôi phải không?.
Một điều nữa là mới chỉ suy ra $ a_n $= 0 thôi , còn suy ra $ a_(n-1) $ ..............$ a_1 $= 0 thế nào ?

- Mình nghĩ là theo cách chứng minh này thì phải có điều kiện đúng với mọi k
- Sau khi chỉ ra $a_{n}=0$ thay vào đa thức đặc trưng đặt $x$ làm nhân tử chung, lúc này vai trò của $a_{n-1}$ lại giống với $a_{n}$ lúc trước, ta lại chứng minh $a_{n-1}=0$ hoàn toàn tương tự như chứng minh $a_{n}=0$ vậy, sau đó lại thực hiện với $a_{n-2}, a_{n-3},...$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]