Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 16-10-2013, 10:34 PM   #1
doxuantung97
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Toán 1 K46 Chuyên Sư Phạm
Bài gởi: 49
Thanks: 19
Thanked 24 Times in 12 Posts
Tìm số dư khi chia cho $p$

Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a$ là một số nguyên dương bất kì.
Đặt $A=(a+1^2)(a+2^2)...(a+(\frac{p-1}{2})^2)$
Tìm số dư của $A$ khi chia cho $p$
______________________
Bài Hải Phòng năm nay là một hệ quả của bài toán này!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
doxuantung97 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 16-10-2013, 10:53 PM   #2
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,186 Times in 1,380 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi doxuantung97 View Post
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a$ là một số nguyên dương bất kì.
Đặt $A=(a+1^2)(a+2^2)...(a+(\frac{p-1}{2})^2)$
Tìm số dư của $A$ khi chia cho $p$
______________________
Bài Hải Phòng năm nay là một hệ quả của bài toán này!
Dưới đây là một ý tưởng cho bài này:

Gọi $B=(a+(p-1)^2)(a+(p-2)^2)...(a+(p-\frac{p-1}{2})^2)$ thì anh nghĩ có thể giải dựa theo 2 nhận xét (tương tự định lí Lagrange) thế này:

$AB$ là đa thức theo $a$ có dạng $a^{p-1} + k_{p-2}a^{p-2}+k_{p-3}a^{p-3}+...+k_1a+k_0$ có tất cả các hệ số, trừ $k_0, k_{(p-1)/2}$, là đều chia hết cho $p$.

Hơn nữa, $A \equiv B \mod{p}$ với mọi $a$ nên chỉ cần tìm theo $a$ số dư của $AB$ khi chia cho $p$ là bao nhiêu.
Chú ý rằng theo định lí Wilson thì $(1.2.3...(p-1))^2$ chia $p$ dư 1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
Akira Vinh HD (01-05-2019), doxuantung97 (17-10-2013)
Old 17-10-2013, 03:19 AM   #3
chemthan
Administrator

 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 349
Thanks: 0
Thanked 306 Times in 160 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi doxuantung97 View Post
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a$ là một số nguyên dương bất kì.
Đặt $A=(a+1^2)(a+2^2)...(a+(\frac{p-1}{2})^2)$
Tìm số dư của $A$ khi chia cho $p$
______________________
Bài Hải Phòng năm nay là một hệ quả của bài toán này!
Đặt $M = \{1^2, 2^2,..., (\frac{p-1}{2})^2\}, N = \{-1^2, -2^2,..., -(\frac{p-1}{2})^2\} $.
Trường hợp 1: $a\equiv 0 (mod p) $.
Rõ ràng là $A \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) $.
Trường hợp 2: $a \in N $ hoặc $a\in M, p \equiv 1 (mod 4) $.
Dễ thấy $A \equiv 0 (mod p) $.
Trường hợp 3: $a \in M, p \equiv 3(mod 4) $.
Xét đa thức $P(x) = (x + 1^2)(x + 2^2)...(x + (\frac{p-1}{2})^2) - x^{\frac{p-1}{2}} - 1 $.
Ta thấy rằng $deg(P(x)) = \frac{p-3}{2} $ và $P(x) $ có $\frac{p-1}{2} $ nghiệm theo $mod p $ nên $P(x) \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $P(a) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \equiv 2 (mod p) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: chemthan, 17-10-2013 lúc 02:03 PM
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to chemthan For This Useful Post:
Akira Vinh HD (01-05-2019), Conanvn (24-12-2013), doxuantung97 (17-10-2013), quocbaoct10 (17-10-2013)
Old 17-10-2013, 08:00 AM   #4
falcaono1
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gởi: 11
Thanks: 8
Thanked 1 Time in 1 Post
Bài Hải Phòng năm nay đáp số đúng phải là 4
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: falcaono1, 17-10-2013 lúc 08:04 AM
falcaono1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 17-10-2013, 11:41 AM   #5
quocbaoct10
+Thành Viên Danh Dự+
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 364 Times in 217 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi falcaono1 View Post
Bài Hải Phòng năm nay đáp số đúng phải là 4
bài Hải Phòng khác bạn à. $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((p-1)^2+1) \equiv (1^2+1)^2(2^2+1)^2\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1)^2 (mod p)$
mà theo kết quả ở trên thì $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1) \equiv 2 (mod p) \Rightarrow (1^2+1)^2(2^2+1)^2\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1)^2 \equiv 4 (mod p)$. Và từ đó có được cái cần tìm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
i'll try my best.

thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 17-10-2013 lúc 11:50 AM
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-10-2013, 12:03 AM   #6
quanghuyhl07
+Thành Viên+
 
quanghuyhl07's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: chốn xa xôi hẻo lánh
Bài gởi: 92
Thanks: 5
Thanked 10 Times in 9 Posts
Bạn có thể giải thích rõ trường hợp 2 khi a thuộc M được k?
------------------------------
Bạn có thể giải thích rõ hơn trường hợp 2 khi a thuộc M đươc không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: quanghuyhl07, 18-10-2013 lúc 12:05 AM Lý do: Tự động gộp bài
quanghuyhl07 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-10-2013, 08:45 AM   #7
quanghuyhl07
+Thành Viên+
 
quanghuyhl07's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: chốn xa xôi hẻo lánh
Bài gởi: 92
Thanks: 5
Thanked 10 Times in 9 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
Đặt $M = \{1^2, 2^2,..., (\frac{p-1}{2})^2\}, N = \{-1^2, -2^2,..., -(\frac{p-1}{2})^2\} $.
Trường hợp 1: $a\equiv 0 (mod p) $.
Rõ ràng là $A \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) $.
Trường hợp 2: $a \in N $ hoặc $a\in M, p \equiv 1 (mod 4) $.
Dễ thấy $A \equiv 0 (mod p) $.
Trường hợp 3: $a \in M, p \equiv 3(mod 4) $.
Xét đa thức $P(x) = (x + 1^2)(x + 2^2)...(x + (\frac{p-1}{2})^2) - x^{\frac{p-1}{2}} - 1 $.
Ta thấy rằng $deg(P(x)) = \frac{p-3}{2} $ và $P(x) $ có $\frac{p-1}{2} $ nghiệm theo $mod p $ nên $P(x) \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $P(a) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \equiv 2 (mod p) $.
bạn có thể giải thích giúp mình trường hợp 2 và 3 khi a thuộc M được không ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quanghuyhl07 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 18-10-2013, 06:01 PM   #8
chemthan
Administrator

 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 349
Thanks: 0
Thanked 306 Times in 160 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quanghuyhl07 View Post
bạn có thể giải thích giúp mình trường hợp 2 và 3 khi a thuộc M được không ?
Trường hợp 2 khi a thuộc M thì bạn để ý rằng: $1 + (1.2.3...\frac{p-1}{2})^2 \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $a^2 + (a.1.2.3...\frac{p-1}{2})^2 \equiv 0 (mod p) $. Còn trường hợp 3 có sử dụng định lý lagrange: "Một đa thức nguyên có số nghiệm theo $modp $ lớn hơn bậc của nó thì tất cả các hệ số của nó phải chia hết $p $".
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 21-10-2013, 09:24 PM   #9
nguyenlanhuong
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
Đặt $M = \{1^2, 2^2,..., (\frac{p-1}{2})^2\}, N = \{-1^2, -2^2,..., -(\frac{p-1}{2})^2\} $.
Trường hợp 1: $a\equiv 0 (mod p) $.
Rõ ràng là $A \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) $.
Trường hợp 2: $a \in N $ hoặc $a\in M, p \equiv 1 (mod 4) $.
Dễ thấy $A \equiv 0 (mod p) $.
Trường hợp 3: $a \in M, p \equiv 3(mod 4) $.
Xét đa thức $P(x) = (x + 1^2)(x + 2^2)...(x + (\frac{p-1}{2})^2) - x^{\frac{p-1}{2}} - 1 $.
Ta thấy rằng $deg(P(x)) = \frac{p-3}{2} $ và $P(x) $ có $\frac{p-1}{2} $ nghiệm theo $mod p $ nên $P(x) \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $P(a) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \equiv 2 (mod p) $.
mình đồng quan điểm với bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nguyenlanhuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 23-04-2019, 11:45 AM   #10
vodka.vn
kakalot
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi chemthan View Post
Trường hợp 2 khi a thuộc M thì bạn để ý rằng: $1 + (1.2.3...\frac{p-1}{2})^2 \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $a^2 + (a.1.2.3...\frac{p-1}{2})^2 \equiv 0 (mod p) $. Còn trường hợp 3 có sử dụng định lý lagrange: "Một đa thức nguyên có số nghiệm theo $modp $ lớn hơn bậc của nó thì tất cả các hệ số của nó phải chia hết $p $".
Thế còn trường hợp $p\equiv 1 (mod 4) $ và $a $ không thuộc cả $M $ và $N $ thì sao?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
vodka.vn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-05-2019, 07:05 PM   #11
Thụy An
+Thành Viên+

 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 85
Thanks: 1
Thanked 65 Times in 44 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi vodka.vn View Post
Thế còn trường hợp $p\equiv 1 (mod 4) $ và $a $ không thuộc cả $M $ và $N $ thì sao?
Xét đa thức
\[P\left( x \right) = {x^{\frac{{p - 1}}{2}}} - {\left( { - 1} \right)^{\frac{{p - 1}}{2}}} - \prod\limits_{1 \le k \le \frac{{p - 1}}{2}} {\left( {x + {k^2}} \right)} .\]Ta có $p\mid P\left( -k^2 \right) $ với mọi $k\in\left\{1,\,2,\,\ldots ,\,\frac{p-1}{2}\right\}$, và đồng thời $\deg P<\frac{p-1}{2}$, cho nên có\[p\mid P(a),\quad\forall\,a\in\mathbb Z.\]Từ đó số dư của $A$ là số dư của ${a^{\frac{{p - 1}}{2}}} - {\left( { - 1} \right)^{\frac{{p - 1}}{2}}}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is online now   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:37 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 81.44 k/94.02 k (13.38%)]