Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Chọn Đội Tuyển Trường

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-02-2013, 05:21 PM   #1
Gin Mellkior
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 86
Thanks: 226
Thanked 60 Times in 27 Posts
Đề thi chọn đội tuyển 30/4 THPT chuyên Nguyễn Du (vòng 2)

Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Dak Lak
Trường THPT chuyên Nguyễn Du

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 30/4/2013

MÔN: TOÁN LỚP 10

Bài toán 1: Giải phương trình $$\sqrt[3]{3x^{2}+x+1}+\sqrt[3]{6x^{2}+5x+3}=\sqrt[3]{7x^{2}-3x+2}+\sqrt[3]{2x^{2}+9x+2}$$

Bài toán 2: Tìm bộ ba số nguyên dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{c}=\left ( ab \right )^{2013}$.

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$, một điểm $M$ nằm trong tam giác. Gọi $AM$, $BM$, $CM$ lần lượt là cắt các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. Chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn $MD$, $ME$, $MF$ ngắn hơn cạnh lớn nhất của tam giác $ABC$.

Bài toán 4: Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ có tích bằng $1$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{\sqrt{7+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{7+c+a}}+\f rac{c}{\sqrt{7+a+b}}\geq 1$$

Bài toán 5: Cho dãy số $1$; $0$; $1$; $0$; $1$; $0$... Từ số hạng thứ bảy trở đi, mỗi số bằng chữ số tận cùng của tổng sáu số hạng trước nó. Chứng minh rằng dãy số này không thể chứa sáu số hạng liên tiếp là $0$; $1$; $0$; $1$; $0$; $1$.

Bài toán 6: Tìm cặp hàm $f$, $g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn $$f\left ( x \right )-f\left ( y \right )=\left ( x+y \right )g\left ( x-y \right ), \ \ \forall x, y\in \mathbb{Q}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LSTN, tạm biệt nhé...!
Gin Mellkior is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2013, 10:44 PM   #2
JokerNVT
+Thành Viên Danh Dự+
 
JokerNVT's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: Trần Đại Nghĩa high school
Bài gởi: 571
Thanks: 206
Thanked 355 Times in 241 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Gin Mellkior View Post
Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Dak Lak
Trường THPT chuyên Nguyễn Du

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 30/4/2013

MÔN: TOÁN LỚP 10

Bài toán 1: Giải phương trình $$\sqrt[3]{3x^{2}+x+1}+\sqrt[3]{6x^{2}+5x+3}=\sqrt[3]{7x^{2}-3x+2}+\sqrt[3]{2x^{2}+9x+2}$$

Bài toán 4: Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ có tích bằng $1$. Chứng minh rằng $$\frac{a}{\sqrt{7+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{7+c+a}}+\f rac{c}{\sqrt{7+a+b}}\geq 1$$


Bài toán 6: Tìm cặp hàm $f$, $g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn $$f\left ( x \right )-f\left ( y \right )=\left ( x+y \right )g\left ( x-y \right ), \ \ \forall x, y\in \mathbb{Q}$$
Bài 1: Đặt $a=\sqrt[3]{3x^{2}+x+1},b=\sqrt[3]{6x^{2}+5x+3}, c=-\sqrt[3]{2x^{2}+9x+2}$
Từ đây ta có: $(a+b+c)^3=(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$
Tới đây tìm nghiệm và hưởng thụ kết quả

Bài 4:
Áp dụng Cauchy-Schwartz:
$\sum \dfrac{a}{\sqrt{7+b+c}}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{7+b+c}}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(7a+7b+7c+2ab+2bc+2 ca)}}$
Mà $\sqrt{(a+b+c)(7a+7b+7c+2ab+2bc+2ca)}\le \dfrac{(a+b+c)\sqrt{21+2(a+b+c)}}{\sqrt{3}}\le (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}$
$\Rightarrow \sum \dfrac{a}{\sqrt{7+b+c}}\ge \sqrt{\dfrac{a+b+c}{3}} \ge 1$ (đpcm)

Bài 6:
+Cho $x=y$ ta có: $2xg(0)=0 \Rightarrow g(0)=0$
Đặt $a=f(0)$
+Cho $y=0$ ta có: $f(x)-a=xg(x)$
+Cho $x=0$ ta có: $a-f(y)=yg(-y)$
$\Rightarrow f(x)-f(y)=xg(x)+yg(-y)=(x+y)g(x-y) \forall x \in \mathbb{Q}$
Thay $x$ bởi $y$ ta có: $g(y)=-g(-y) \forall x \in \mathbb{R}$
Thay $y$ bởi $-y$ ta có: $xg(x)-yg(y)=(x-y)g(x+y)=xg(x)+yg(-y)$
$\Rightarrow (x+y)g(x-y)=(x-y)g(x+y)$
Đặt $a=x+y, b=x-y$ ta có: $\dfrac{g(b)}{b}=\dfrac{g(a)}{a} \forall a,b\neq 0$
$\Rightarrow g(a)=ca \Rightarrow g(x)=cx \forall x \in \mathbb{Q} \Rightarrow f(x)=cx^2+b \forall x,c,b \in\mathbb{Q}, b,c=const$
Kiểm tra thấy hàm thỏa mãn

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Tú Văn Ninh

thay đổi nội dung bởi: JokerNVT, 26-02-2013 lúc 10:51 PM
JokerNVT is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to JokerNVT For This Useful Post:
Gin Mellkior (27-02-2013), paul17 (26-02-2013)
Old 27-02-2013, 05:48 AM   #3
Gin Mellkior
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 86
Thanks: 226
Thanked 60 Times in 27 Posts
Bài toán 3: Không mất tính tổng quát ta giả sử cạnh lớn nhất là cạnh $BC$.
Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác $ABC$, cắt các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ tại các điểm $A_{1}$ và $A_{2}$, $B_{1}$ và $B_{2}$, $C_{1}$ và $C_{2}$ tương ứng. Trong các tam giác $A_{1}A_{2}M$, $B_{1}B_{2}M$, $C_{1}C_{2}M$ các cạnh lớn nhất tương ứng là $A_{1}A_{2}$, $B_{1}M$, $C_{2}M$. Do đó $MD<A_{1}A_{2}$, $ME<B_{1}M$, $MF<C_{2}M$, tức là $MD+ME+MF<A_{1}A_{2}+B_{1}O+C_{2}O=A_{1}A_{2}+CA_{ 2}+BA_{1}=BC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LSTN, tạm biệt nhé...!

thay đổi nội dung bởi: Gin Mellkior, 27-02-2013 lúc 11:42 AM
Gin Mellkior is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:51 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 50.74 k/55.66 k (8.84%)]