Đề thi chọn đội tuyển Đại Học Vinh tham dự VMO 2011-2012

[n.v.thanh]

Bài hình ngày 2 còn được thảo luận ở [Only registered and activated users can see links. ].Kết quả mở rộng thêm là $M_1I_1,M_2I_2,M_3I_3,M_4I_4,OI $ đồng quy tại một điểm.

@beyond : Lời giải của bác hay quá .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdu-socap]

Bài 4 em làm thế này không biết đúng không
Định nghĩa f(x) là số cách sắp xếp đội hình thỏa mãn với 2x người
Dễ thấy $f(m)\ge f(n) \Leftrightarrow m\ge n $
mặt khác $f(2x)\le(f(x)+1) $(ta có thể ghép 2 người thành 1 cặp, sau f(x) lần sắp xếp, mỗi người chỉ chưa khác nhóm với nhiều nhất là người còn lại trong cặp nên sau 1 phép đổi nữa thì xong)
$\Rightarrow f(1024)\le(f(512)+1)\le...\le(f(2)+9)=11 $
$\Rightarrow f(1006)\le 11 $
Ta chứng minh được $2^k $ là số người lớn nhất để sắp xếp được sau k-1 lần bằng quy nạp $\Rightarrow f(1006) \ge f(2^9)=10 $
Vậy ta có kết quả 11
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[beyondinfinity]

Anh thấy dấu $10\leq f(1006)\leq 11 $ thì hơi có vấn đề! Bdt này chẳng khó để suy ra vì chỉ cần chỉ ra 1 cách xếp $k $ lần với $2^k $ là được.

sau f(x) lần sắp xếp, mỗi người chỉ chưa khác nhóm với người còn lại trong cặp nên sau 1 phép đổi nữa thì xong

, điều này có ép quá không, vì biết đâu chỉ cần $f(x) $ lần xếp theo 1 cách nào đó đã thỏa mãn đề bài?
Chỉ cần em cm được $f(1006)>10 $ là okie, anh cũng đã từng nghĩ tới hướng này nhưng chứng minh "không thể xếp với 10 lần" trực tiếp nó hơi mơ hồ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[wall_e]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Ngày 2

Bài 5 (7 điểm)
Cho các số thực không âm phân biệt a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=(a^2+b^2+c^2)\left[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right] $

Hơ, em xin chuyển chủ đề sang bài 5 1 tí ạ. Bài này chắc quá quen rùi Em từng thấy trong đề chọn đội tuyển Vĩnh Phúc bên math.vn hồi 2010. Em đánh giá thẳng tay như thế này

Không mất tính tổng quát giả sử $c\le b \le a $ thì $a,b >0 ; c \ge0 $

Khi đó $c^2 \ge 0; (b-c)^2 = b^2-c(2b-c) \le b^2; (a-c)^2 \le a^2 $

Do đó ta có:

$P \ge (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] $

Bài toán trở về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$f(t) = \frac{1}{1-2t}+\frac{1}{t^2} $ với $t=\frac{ab}{a^2+b^2} $ ($0< t \le \frac{1}{2}) $

$f'(t) = \frac{2}{(1-2t)^2}-\frac{2}{t^3} =\frac{(t-1)(t^2-3t+1)}{t^3(1-2t)^2} $

Hàm số đạt cực tiểu tại $t=\frac{3-\sqrt{5}}{2} $, giá trị cực tiểu bằng $\frac{11+5\sqrt{5}}{2} $

Do vậy $P \ge \frac{11+5\sqrt{5}}{2} $

Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $c=0;a=1; b= \frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\frac{3\sqrt{5}-1}{2}}}{2} $

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{11+5\sqrt{5}}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[beyondinfinity]

Nguyên văn bởi wall_e

Hơ, em xin chuyển chủ đề sang bài 5 1 tí ạ. Bài này chắc quá quen rùi Em từng thấy trong đề chọn đội tuyển Vĩnh Phúc bên math.vn hồi 2010. Em đánh giá thẳng tay như thế này

Không mất tính tổng quát giả sử $c\le b \le a $ thì $a,b >0 ; c \ge0 $

Khi đó $c^2 \ge 0; (b-c)^2 = b^2-c(2b-c) \le b^2; (a-c)^2 \le a^2 $

Do đó ta có:

$P \ge (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] $

Đến đây đặt $t=\frac{b}{a} $ thì $t \ge 0 $

Bài toán trở về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$f(t) = \frac{1}{1-2t}+\frac{1}{t^2} $ với $t=\frac{ab}{a^2+b^2} $ ($0< t \le \frac{1}{2}) $

$f'(t) = \frac{2}{(1-2t)^2}-\frac{2}{t^3} =\frac{(t-1)(t^2-3t+1)}{t^3(1-2t)^2} $

Hàm số đạt cực tiểu tại $t=\frac{3-\sqrt{5}}{2} $, giá trị cực tiểu bằng $\frac{11+5\sqrt{5}}{2} $

Do vậy $P \ge \frac{11+5\sqrt{5}}{2} $

Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $c=0;a=1; b= \frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\frac{3\sqrt{5}-1}{2}}}{2} $

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{11+5\sqrt{5}}{2} $

Gần giống dồn biền toàn miền
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi n.v.thanh

Ngày 2

Bài 5 (7 điểm)
Cho các số thực không âm phân biệt a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=(a^2+b^2+c^2)\left[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right] $

Bài 6 (6 điểm)
Giả sử rằng $p $ là một số nguyên tố sao cho $2^{p-1} -1 $ chia hết cho $p^2 $.
Chứng minh rằng với số nguyên dương n tùy ý,số $(p-1)(p!+2^n) $ có ít nhất 3 ước nguyên tố phân biệt.
Bài 7 (7 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O,$ hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I$. Gọi $I_1,I_2 $ lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác $ABI$ và $CDI.$ Gọi $M_1,M_2 $ lần lượt là điểm chính giữa cung AB,CD (không chưa các đỉnh còn lại của tứ giác).Chứng minh rằng các đường thẳng $OI,M_1I_1,M_2I_2 $

Ngày 2

Bài 5 (7 điểm)
Cho các số thực không âm phân biệt $a,b,c.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=(a^2+b^2+c^2)\left[\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2} \right]$

Bài 6 (6 điểm)
Giả sử rằng $p$ là một số nguyên tố sao cho $2^{p-1} -1$ chia hết cho $p^2$.
Chứng minh rằng với số nguyên dương $n$ tùy ý,số $(p-1)(p!+2^n)$ có ít nhất 3 ước nguyên tố phân biệt.
Bài 7 (7 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O,$ hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I.$ Gọi $I_1,I_2$ lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác $ABI$ và $CDI.$ Gọi $M_1,M_2$ lần lượt là điểm chính giữa cung $AB,CD$ (không chưa các đỉnh còn lại của tứ giác).Chứng minh rằng các đường thẳng $OI,M_1I_1,M_2I_2$ đồng quy.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]