Đề thi chọn đội dự tuyển trường THPT Chuyên Hà Tĩnh (vòng 2)

[hieu1411997]

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (5 điểm): Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm GTLN, GTNN của:
$P=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z ^2}$
Câu 2 (5 điểm). Xác định tất cả các đa thức có dạng
$P(x)=n!x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+(-1)^n(n+1)n$ ($n \in N^*$)
với các hệ số nguyên sao cho $P(x)$ có đủ $n$ nghiệm thực $x_1, x_2,...,x_n$ thỏa mãn điều kiện: $k \le x_k \le k+1$ với mọi $k=1,2,...,n$
Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ có 2 đường cao $AA'$ và $CC'$ cắt nhau tại $H$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng $AA'$ và $CC'$ lần lượt $AB, BC$ tại $P$ và $Q$. Các đường thẳng đi qua $P$ vuông góc ới $AB$, đi qua $Q$ vuông góc với $BC$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng:
a) $BR$ là phân giác góc $ABC$
b) $H,M,R$ thẳng hàng với $M$ là trung điểm $AC$
Câu 4 (5 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ, không chia hết cho $5$ và nhỏ hơn $40$. Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho mỗi tập con có $k$ phần tử của $S$ đều tồn tại $2$ số chia hết cho nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ntuan5]

1/ Ta c/m $min=\frac{5}{2}; max=2.7$.
Xét hàm $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ là hàm lồi trên $[0;1)$.
Nên dùng bđt jensen:
$$P \leq \frac{3}{1+\frac{(x+y+z)^2}{9}}=2,7$$
Cũng có:
$$P \ge \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z^2} \ge \frac{2}{2-z}+\frac{1}{1+z^2}$$
Hàm cuối là hàm nghịch biến nên sẽ lớn hơn gía trị của nó tại 1, giá trị này là $\frac{5}{2}$.(đpcm)
2/ Theo viet: $x_{1}...x_{n}=\frac{n+1}{(n-1)!} \ge n!$
Suy ra $n=1 v 2$
$n=1 \Leftarrow x=2$
$n=2 \Leftarrow a_{1} \in [6;10]$
Từ đó thử lại nghiệm tìm được đa thức.
4/ Xét tập con toàn là số nguyên tố thì có 10 phần tử, nên đk cần là: $k>10$.
Ta chứng minh $k=11$ thỏa mãn.
Chỉ cần chia tập trên thành 5 tập con gồm 3 phần tử mà trong đó tồn tại 2 số chia hết cho nhau.
Theo nguyên lí dirichle thì một tập con 11 phần tử sẽ có ít nhất 3 phần tử thuộc một trong 5 tập con trên (đpcm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi ntuan5

Cũng có:
$$P \ge \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z^2} \ge \frac{2}{2-z}+\frac{1}{1+z^2}$$
Hàm cuối là hàm nghịch biến nên sẽ lớn hơn gía trị của nó tại 1, giá trị này là $\frac{5}{2}$.(đpcm)

Chú ý rằng

$\frac{2}{2-z}+\frac{1}{1+z^2} \leq \dfrac{5}{2} $ với mọi $z \in [0;1]. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ntuan5]

Trời ơi, em làm ẩu quá:
Viết lại bđt thành: $T=\sum \frac{x^2}{1+x^2} \le \frac{1}{2}$. Nếu có nhiều hơn hai số dương trong x,y,z thì :$T < \frac{x+y+z}{2} v \frac{y+z}{2}$. Xét có 2 số bằng 0 thì $T=\frac{1}{2}$. Vậy bđt được c/m.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi ntuan5

Trời ơi, em làm ẩu quá:
Viết lại bđt thành: $T=\sum \frac{x^2}{1+x^2} \le \frac{1}{2}$. Nếu có nhiều hơn hai số dương trong x,y,z thì :$T < \frac{x+y+z}{2} v \frac{y+z}{2}$. Xét có 2 số bằng 0 thì $T=\frac{1}{2}$. Vậy bđt được c/m.

Về cái giá trị lớn nhất: Hàm này không có lồi hay lõm trên đoạn (0,1) bạn à, nên lời giải của bạn không chính xác. Lời khuyên là đừng bao giờ áp dụng trực tiếp định lý mà hãy chứng minh định lý lại từ đầu để đảm bảo rằng mình sử dụng đúng.

Giá trị lớn nhất có thể tìm được nếu ta dùng kết quả sau:
$$\frac{1}{1+x^2}\le \frac{54}{50}-\frac{27x}{50}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Không Biết]

Bài 1 có thể giải như sau.
Về giá trị nhỏ nhất, theo bất đẳng thức AM-GM ta có
$$P=3-\sum\frac{x^2}{1+x^2}\ge3-\sum\frac{x(1+x^2)}{2(1+x^2)}=\frac{5}{2}.$$
Đẳng thức xảy ra nếu $x=1,y=z=0,$ do đó ta có $\min P=\frac{5}{2}.$

Về giá trị lớn nhất, ta sử dụng bất đẳng thức
$$\frac{1}{1+x^2}\le\frac{9}{10}+\frac{9}{50}(1-3x)\quad\forall x\in[0,1],$$
đúng vì nó tương đương với $(4-3x)(1-3x)^2\ge0.$ Thực hiện tương tự cho $y,z,$ ta được $P\le\frac{27}{10}.$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3},$ do vậy $\max P=\frac{1}{3}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi Không Biết

Bài 1 có thể giải như sau.
Về giá trị nhỏ nhất, theo bất đẳng thức AM-GM ta có
$$P=3-\sum\frac{x^2}{1+x^2}\ge3-\sum\frac{x(1+x^2)}{2(1+x^2)}=\frac{5}{2}.$$
Đẳng thức xảy ra nếu $x=1,y=z=0,$ do đó ta có $\min P=\frac{5}{2}.$

Về giá trị lớn nhất, ta sử dụng bất đẳng thức
$$\frac{1}{1+x^2}\le\frac{9}{10}+\frac{9}{50}(1-3x)\quad\forall x\in[0,1],$$
đúng vì nó tương đương với $(4-3x)(1-3x)^2\ge0.$ Thực hiện tương tự cho $y,z,$ ta được $P\le\frac{27}{10}.$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3},$ do vậy $\max P=\frac{1}{3}.$

Còn có thể

$P \ge \dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{4}{2+y^2+z^2} \ge \dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{4}{2+(1-x)^2} \ge \dfrac{5}{2} $ với $\dfrac{1}{3} \le x \le 1. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[giabao185]

Nguyên văn bởi hieu1411997

Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ có 2 đường cao $AA'$ và $CC'$ cắt nhau tại $H$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng $AA'$ và $CC'$ lần lượt $AB, BC$ tại $P$ và $Q$. Các đường thẳng đi qua $P$ vuông góc ới $AB$, đi qua $Q$ vuông góc với $BC$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng:
a) $BR$ là phân giác góc $ABC$
b) $H,M,R$ thẳng hàng với $M$ là trung điểm $AC$

Mình xin xử bài hình
Câu a thì dễ rồi, mình xin câu b:
Vẽ hbh HADC, dễ dàng thấy H,M,D thẳng hàng
Cách 1:Gọi R' là giao điểm của BR và HD
Sử dụng câu a) và $\widehat{ABB'}=\widehat{DBC}$
\rightarrow BR là phân giác của $\widehat{HBD}$
$\rightarrow \frac{HR'}{R'D}=\frac{BH}{BD}(1)$
ta có tam giác$ BHA'\sim tam giác BDA$
$\rightarrow \frac{BH}{BD}=\frac{HA'}{DA}=\frac{HA'}{HC}$
Theo t/c phân giác và $\frac{HA'}{HC}=\frac{HC'}{HA}$
$\rightarrow \frac{BH}{BD}=\frac{PC'}{PA}=\frac{QA'}{QC}(2)$
Từ (1) và (2) $\rightarrow \frac{R'H}{R'D}=\frac{PC'}{PA}=\frac{QA'}{QC}$
mà ADHC',A'CDH là hình thang
nên theo định lí Ta-lét nên $R'P\parallel HC',R'Q \parallel HA'$
$\rightarrow R'P \perp AB tại P,R'Q \perp BC tại Q$
$\rightarrow R \equiv R'$
$\rightarrow H,R,M thẳng hàng.$
Cách 2:
Gọi R_1 là giao điểm của PR và HD,
R_2 là giao điểm của QR và HD
Dễ thấy $\frac{PC'}{PA}=\frac{QA'}{QC}$
Ta lại có:ADHC',CDHA' là hình thang
theo định lí Ta-lét :$\frac{PC'}{PA}=\frac{HR_1}{R_1D}$
$\frac{QA'}{QC}=\frac{HR_2}{R_2D}$
mà$ \frac{PC'}{PA}=\frac{QA'}{QC}$
$\Rightarrow \frac{HR_1}{R_1D}=\frac{HR_2}{R_2D}$
$\rightarrow R_1 \equiv R_2 $(R_1,R_2 cùng thuộc đoạn HD)
$\rightarrow R\equiv R_1\equiv R_2$
$\rightarrow H,R,M thẳng hàng$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trànvănđức]

Nguyên văn bởi ntuan5

1/ Ta c/m $min=\frac{5}{2}; max=2.7$.
Xét hàm $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ là hàm lồi trên $[0;1)$.
Nên dùng bđt jensen:
$$P \leq \frac{3}{1+\frac{(x+y+z)^2}{9}}=2,7$$
Cũng có:
$$P \ge \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z^2} \ge \frac{2}{2-z}+\frac{1}{1+z^2}$$
Hàm cuối là hàm nghịch biến nên sẽ lớn hơn gía trị của nó tại 1, giá trị này là $\frac{5}{2}$.(đpcm)
2/ Theo viet: $x_{1}...x_{n}=\frac{n+1}{(n-1)!} \ge n!$
Suy ra $n=1 v 2$
$n=1 \Leftarrow x=2$
$n=2 \Leftarrow a_{1} \in [6;10]$
Từ đó thử lại nghiệm tìm được đa thức.
4/ Xét tập con toàn là số nguyên tố thì có 10 phần tử, nên đk cần là: $k>10$.
Ta chứng minh $k=11$ thỏa mãn.
Chỉ cần chia tập trên thành 5 tập con gồm 3 phần tử mà trong đó tồn tại 2 số chia hết cho nhau.
Theo nguyên lí dirichle thì một tập con 11 phần tử sẽ có ít nhất 3 phần tử thuộc một trong 5 tập con trên (đpcm).

Bạn tìm min sai,hàm của biến z không nghịch biến
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nvthe_cht.]

Cách khác cho hình b.
Qua R kẻ các đường thằng vuông góc với $AB,BC$ lần lượt cắt $AH,CH$ tại$I,J$. Khi đó $HIRJ$ là hình bình hành, hay $HR$ đi qua trung điểm $IJ$.
Dễ chứng minh $HIP$ đồng dạng $HJQ$ nên ta có tỷ số:
$\frac{HI}{HJ}=\frac{HP}{HQ}=\frac{HA}{HC}$ dẫn đến $JI||BC$. Do đó $HM$ đi qua trung điểm $IJ$. Tuừ đây ta có $H,R,M$ thẳng hàng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]