Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2013-2014 - Lời giải và bình luận

**Fool's theorem** · 02-10-2013, 11:23 PM

Bài 7 tổ hợp bạn hoangqnvip làm sai rồi đó, nếu ý bạn là số điểm giữa điểm tô màu xanh thứ $i-1$ và điểm tô xanh thứ $i$ là $x_i$ thì lúc này tổng các $x_i$ nó không phải là $n$ nữa đâu, còn nếu ý bạn là lấy số thứ tự của hai điểm màu xanh trừ đi nhau ra $x_i$ thì phải xét $a_i = x_i -(p+1) \forall i>1$ thì mới có $a_i \geq 0 \forall i$, lúc này áp dụng bài toán chia kẹo euler sẽ được đáp số là $C^{(k+1)-1}_{n-k(p+1)+(k+1)-1} = C^k_{n-kp} $ chính là đáp án của mình bên trên
------------------------------
Thấy chưa có ai cho lời giải hoàn chỉnh bài KHTN nên mình post nốt cho đủ 10 bài vậy

TỔ HỢP
Bài 1:
Gọi tập các chỉ số thỏa mãn là $T$ , tập còn lại là $S$
Xét khi ta đổi chỗ 2 số $a_i,a_j$ bất kì thì ta xét bộ $(a_{i-2},a_{i-1},a_i,a_{i+1},a_{i+2}) $ và bộ $(a_{j-2},a_{j-1},a_j,a_{j+1},a_{j+2})$ , dễ thấy khi chuyển như vậy thì chỉ có các chỉ số $i-1,i,i+1$ và $j-1,j,j+1$ là có thể chuyển từ tập hợp này sang tập hợp khác.
Khi đổi chỗ $a_i$ thành $a_j$ nếu ta làm thay đổi dấu giữa $(a_i,a_{i+1})$ và $(a_{i-1},a_i)$ cùng lúc thì chỉ số $j$ lúc này sẽ thuộc tập hợp chứa chỉ số $i$ vừa chuyển đi, còn chỉ số $i+1$ và $i-1$ sẽ cùng lúc chuyển sang tập hợp khác tập hợp ban đầu, tức hiệu của hai tập hợp bất biến mod $2$.
Nếu ta chỉ làm thay đổi dấu của một trong 2 cặp $(a_i,a_{i+1})$ và $(a_{i-1},a_i)$ , giả sử là của cặp $(a_i,a_{i+1})$, thì khi đó chỉ số $i-1$ giữ nguyên, chỉ số $i$ và $i+1$ sẽ cùng lúc chuyển khỏi tập hợp ban đầu của nó, một lần nữa ta có hiệu 2 tập hợp $T,S$ là bất biến mod $2$.
Xét tương tự với bộ $(a_{j-2},a_{j-1},a_j,a_{j+1},a_{j+2})$ ta có mỗi 2 chuyển 2 số bất kì trên vòng tròn thì hiêu 2 tập $T,S$ đều bất biến mod $2$.
Còn lại đúng 2 trường hợp là đổi $(a_i,a_{i+2})$ và $(a_i,a_{i+1})$ thì ta xét sự đổi dấu tương tự, không khác gì nhiều mà lại khá dài nên xin phép k post

Ban đầu xếp $1,2,...,2014$ lên đường tròn theo đúng thứ tự thì ta có |T|=2012 suy ra |T| chỉ có thể nhận các giá trị chẵn. Ta sẽ chỉ ra với mọi |T| chẵn thuộc $[0,2012]$ ta đều có cách xếp thỏa mãn đó là
$(1,2,..,2k,(k+1008,2k+1),(k+1009,2k+2),....,(2014 ,k+1007))$

02-10-2013, 11:23 PM	#11
Fool's theorem +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: T1 K46 Chuyên ĐHSP Hà Nội Bài gởi: 187 Thanks: 42 Thanked 192 Times in 101 Posts	Bài 7 tổ hợp bạn hoangqnvip làm sai rồi đó, nếu ý bạn là số điểm giữa điểm tô màu xanh thứ $i-1$ và điểm tô xanh thứ $i$ là $x_i$ thì lúc này tổng các $x_i$ nó không phải là $n$ nữa đâu, còn nếu ý bạn là lấy số thứ tự của hai điểm màu xanh trừ đi nhau ra $x_i$ thì phải xét $a_i = x_i -(p+1) \forall i>1$ thì mới có $a_i \geq 0 \forall i$, lúc này áp dụng bài toán chia kẹo euler sẽ được đáp số là $C^{(k+1)-1}_{n-k(p+1)+(k+1)-1} = C^k_{n-kp} $ chính là đáp án của mình bên trên ------------------------------ Thấy chưa có ai cho lời giải hoàn chỉnh bài KHTN nên mình post nốt cho đủ 10 bài vậy TỔ HỢP Bài 1: Gọi tập các chỉ số thỏa mãn là $T$ , tập còn lại là $S$ Xét khi ta đổi chỗ 2 số $a_i,a_j$ bất kì thì ta xét bộ $(a_{i-2},a_{i-1},a_i,a_{i+1},a_{i+2}) $ và bộ $(a_{j-2},a_{j-1},a_j,a_{j+1},a_{j+2})$ , dễ thấy khi chuyển như vậy thì chỉ có các chỉ số $i-1,i,i+1$ và $j-1,j,j+1$ là có thể chuyển từ tập hợp này sang tập hợp khác. Khi đổi chỗ $a_i$ thành $a_j$ nếu ta làm thay đổi dấu giữa $(a_i,a_{i+1})$ và $(a_{i-1},a_i)$ cùng lúc thì chỉ số $j$ lúc này sẽ thuộc tập hợp chứa chỉ số $i$ vừa chuyển đi, còn chỉ số $i+1$ và $i-1$ sẽ cùng lúc chuyển sang tập hợp khác tập hợp ban đầu, tức hiệu của hai tập hợp bất biến mod $2$. Nếu ta chỉ làm thay đổi dấu của một trong 2 cặp $(a_i,a_{i+1})$ và $(a_{i-1},a_i)$ , giả sử là của cặp $(a_i,a_{i+1})$, thì khi đó chỉ số $i-1$ giữ nguyên, chỉ số $i$ và $i+1$ sẽ cùng lúc chuyển khỏi tập hợp ban đầu của nó, một lần nữa ta có hiệu 2 tập hợp $T,S$ là bất biến mod $2$. Xét tương tự với bộ $(a_{j-2},a_{j-1},a_j,a_{j+1},a_{j+2})$ ta có mỗi 2 chuyển 2 số bất kì trên vòng tròn thì hiêu 2 tập $T,S$ đều bất biến mod $2$. Còn lại đúng 2 trường hợp là đổi $(a_i,a_{i+2})$ và $(a_i,a_{i+1})$ thì ta xét sự đổi dấu tương tự, không khác gì nhiều mà lại khá dài nên xin phép k post Ban đầu xếp $1,2,...,2014$ lên đường tròn theo đúng thứ tự thì ta có \|T\|=2012 suy ra \|T\| chỉ có thể nhận các giá trị chẵn. Ta sẽ chỉ ra với mọi \|T\| chẵn thuộc $[0,2012]$ ta đều có cách xếp thỏa mãn đó là $(1,2,..,2k,(k+1008,2k+1),(k+1009,2k+2),....,(2014 ,k+1007))$ __________________ Hope against hope. thay đổi nội dung bởi: Fool's theorem, 03-10-2013 lúc 09:09 PM Lý do: Tự động gộp bài