Giới hạn hàm số!!!

[langtuthanhdon]

Cho $f(x):R^+\rightarrow R $ liên tục thỏa mãn:

$\lim_{n\in N,n\to \infty}f(nx)=0 $

Chứng minh rằng $\lim_{x\to \infty} f(x)=0 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Theo như mình nhớ thì đây là một bài Toán trên trang kalva. Hy vọng ai đó có thể kiểm tra được

Bài toán này có thể giải được bằng cách dùng định lý Baire . Không hiểu langtuthanhdon post bài này trong box này nghĩa là có cách sơ cấp ? Mong bạn có thể giải đáp thắc mắc này của mình
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[langtuthanhdon]

Mình hoàn toàn không biết lời giải của bài toán này! Trông nó có vẻ là giải được bằng sơ cấp, nếu 99 có lời giải cao cấp thì đưa lên cho mọi người học tập. Cứ có lời giải là quí rồi:biggrin:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Đây là bài B3 Putnam 1964 .

Còn đây là l[Only registered and activated users can see links. ] trên trang kalva . Cách giải dùng định lý Baire, học sinh phổ thông chưa thể giải được bài này đâu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Post ra đây cho sau này trang kalva died thì có cái mà dùng.

Problem B3
R is the reals. f : R → R is continuous and for any α > 0, limn→∞ f(nα) = 0. Prove limx→∞ f(x) = 0.

Solution

This is fairly hard.

Take ε > 0. Let An = {x : |f(nx)| ≤ ε}. Let Bn be the intersection of all Am with m ≥ n. The function f is continuous, so each An is closed. Hence also each Bn. Now suppose we can show that an open interval (a, b) is contained in some BN. That means that for any x in (a, b) and any n > N we have |f(nx)| < ε. Hence |f(x)| < ε for any x in (na, nb). But the intervals (na, nb) expand in size as they move to the right, so for n sufficiently large they overlap and we have that their union includes all sufficiently large x. In other words, for any sufficiently large x we have |f(x)| < ε. But ε was arbitrary, so we have established that lim f(x) = 0 as x tends to infinity.

It remains to show that we can find such an open interval (a, b). Now we are given that for any given x, lim f(nx) = 0 (as n tends to infinity), so x belongs to some Bn for n sufficiently large. In other words, the union of the Bn is the entire line.

We now need the Baire category theorem which states that if a union of closed sets covers the line, then one of the sets contains an open interval. This is bookwork. [But straightforward. Assume none of the Bn contain an open interval. Take a point not in B1. Since B1 is closed we may take a closed interval C1about the point, not meeting B1. Having chosen Cn, there must be a point in it not in Bn+1 (or Bn+1 would contain an open interval - the interior of Cn). Hence we may take Cn+1, a closed subinterval of Cn which does not meet Bn+1. Now Cn is a nested sequence of closed intervals, so there must be a point X in all the Cn But Bn cover the line, so X must be in some Bn. Contradiction.].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[langtuthanhdon]

Em mới nghĩ ra lời giải sơ cấp, mọi người check lại xem thế nào nhé! Do f liên tục nên f liên tục đều. Bây giờ xét dãy $(x_n) $ bất kỳ tiến ra vô tận. Với $\varepsilon>0 $ bất kỳ tồn tại $\delta>0 $ sao cho
$|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon\quad \forall |x-y|<\delta $
Vậy
$|f(x_n)-f([\frac{x_n}{\delta}]\delta)|\leq \varepsilon\quad \forall n $
Cho $n\rightarrow\infty $ ta có
$\lim_{n\to\infty}x_n=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi langtuthanhdon

Em mới nghĩ ra lời giải sơ cấp, mọi người check lại xem thế nào nhé! Do f liên tục nên f liên tục đều. Bây giờ xét dãy $(x_n) $ bất kỳ tiến ra vô tận. Với $\varepsilon>0 $ bất kỳ tồn tại $\delta>0 $ sao cho
$|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon\quad \forall |x-y|<\delta $
Vậy
$|f(x_n)-f([\frac{x_n}{\delta}]\delta)|\leq \varepsilon\quad \forall n $
Cho $n\rightarrow\infty $ ta có
$\lim_{n\to\infty}x_n=0 $

Chỗ in đậm sai vì miền xác định của f không compact
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]