Các định lý về dãy số và giới hạn

[LiveToLive]

Mình thường nghe nhắc đến định lý Cesaro và định lý Stolz.
Vậy phát biểu của các định lý này là gì vậy? Ngoài ra còn định lý nào quen thuộc nữa ko?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Định lý Cesaro:
Cho dãy số $\{u_n\} $ có $\lim u_n =a $.
Khi đó $\lim \dfrac{u_1+u_2+\ldots +u_n}{n}=a $.
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:
Nếu $\lim (u_{n+1}-u_n)=a $ thì $\lim \dfrac{u_n}{n}=a $.

Định lý Stolz:
Cho 2 dãy số $\{x_n\} $ và $\{y_n\} $, trong đó $\{ y_n\} $ là dãy số dương tăng ngặt và có giới hạn $+\infty $.
Khi đó $\lim \dfrac{x_n}{y_n}=\lim \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cuthangbo]

Có ai Cm dc mấy định lí này k?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Chứng minh cũng đơn giản thôi.
Bạn hãy bắt đầu từ việc chứng minh kết quả sau:
Nếu $lim (a_{n+1} - a_n) = 0 $ thì $lim \frac{a_n}{n} = 0 $
Cứ dùng định nghĩa là ra.

Nếu bạn cảm thấy khó khăn thì tham khảo thêm ở đây: http://planetmath.org/encyclopedia/P...roTheorem.html
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[congbang_dhsp]

Chứng minh định lý stolz mình có thể sử dụng giới hạn trên và giới hạn dưới kết hợp với định nghĩa giới hạn là xong
Định lý céaro là một trường hợp đặc biệt của định lý stolz
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mabeoex]

Ai có thể lấy ví dụ có sử dụng 2 định lí này được không ạ,em cảm ơn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MINHLOC]

Cho dãy số$ \{x_n\} $ hội tụ.Chứng minh rằng nếu $\lim_{n \to \infty }{n(x_{n+1}-x_n)} $ tồn tại thì $\lim_{n \to \infty }{n(x_{n+1}-x_n)}=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

[Only registered and activated users can see links. ]
Cái này do bạn lập racũng có khá nhiều bài dùng STOLZ, ak cái bài 5 có cái phần thêm ra do mình viết vào chưa ai giải kìa, cũng là áp dụng Stolz, bạn có thể giải thử
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thanh vien]

Nguyên văn bởi novae

Định lý Cesaro:
Cho dãy số $\{u_n\} $ có $\lim u_n =a $.
Khi đó $\lim \dfrac{u_1+u_2+\ldots +u_n}{n}=a $.
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:
Nếu $\lim (u_{n+1}-u_n)=a $ thì $\lim \dfrac{u_n}{n}=a $.

Định lý Stolz:
Cho 2 dãy số $\{x_n\} $ và $\{y_n\} $, trong đó $\{ y_n\} $ là dãy số dương tăng ngặt và có giới hạn $+\infty $.
Khi đó $\lim \dfrac{x_n}{y_n}=\lim \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}. $

Định lí Cesaro mình phát biểu kiểu này được không nhỉ?

Cho dãy số $(u_n) $. Khi đó $\lim(u_{n+1}-u_n)=\lim\frac{u_n}n $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi Thanh vien

Định lí Cesaro mình phát biểu kiểu này được không nhỉ?

Ý của đinh lý là nếu dãy sai phân có tồn tại giới hạn hữu hạn thì
dãy trung binh cũng tồn tại gh và gh của nó chính bằng gh của dãy sai phân.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoanghaithanh]

định lý đầu tiên có chiều ngược lại không hả các anh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Nguyên văn bởi hoanghaithanh

định lý đầu tiên có chiều ngược lại không hả các anh?

Không có chiều ngược lại. Đơn giản chỉ cần xét dãy $1,-1,1,-1,.... $ thì sẽ có $\frac{x_n}{n} $ có giới hạn là 0, nhưng dãy $x_{n+1}-x_n $ có dạng $-2,2,-2,2,... $ nên không có giới hạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Một câu hỏi "khác" cho định lý Céaro như sau:

Cho dãy $\{x_n\}_{n=1, \infty} $ hội tụ về $x^{*} $.


Hỏi dãy $a_1, ..., a_k, ... $ phải thỏa điều kiện đủ nào để $\sum_{i=1}^{k} a_ix_i $ cũng hội tụ về $x^{*} $?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]