Bài dãy số hay

[batigoal]

Cho dãy số $a_n;n \ge 1 $.Xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix}
a_{1}= 3 & a_{2}= 11 \\
a_{n}= 4a_{n-1}-a_{n-2} & n\geq 3
\end{matrix}\right. $
Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy đều có biểu diễn dưới dạng $a^2+2b^2 $ với $a,b $ là các số tự nhiên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Đây là cách giải của mình, có lẽ hơi dài.

Đặt $x = \sqrt 3 + 1,y = \sqrt 3 - 1, $ khi đó ta chứng minh được

$\[{a_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \cdot \frac{{{x^{2n + 1}} + {y^{2n + 1}}}}{{x + y}}\hspace{1cm} \forall n \in \mathbb N^*.\] $

Ta cũng có được sự ràng buộc giữa $x,y $ là

$\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2\sqrt 3 \\
xy = 2
\end{array} \right.\] $

Bằng việc dự đoán, ta sẽ chứng minh

$\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{2n}} = a_n^2 + 2{\left( {\dfrac{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}{2}} \right)^2}\\
{a_{2n + 1}} = a_n^2 + 2{\left( {{a_n} + \dfrac{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}{2}} \right)^2}.
\end{array} \right\] $

(do $a_n $ luôn lẻ nên $\dfrac{a_n-a_{n-1}}{2} $ là số nguyên)

Bằng việc đưa về hai biến $x,y, $ việc chứng minh điều trên sẽ không quá khó khăn.

Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Bạn Hải làm cách đó thì khỏi phải lăn tăn.
Có một định lý thế này

Nếu p là số nguyên tố có dạng $8k+1 $ hoặc $8k+3 $ thì luôn tồn tại x,y sao cho $p=x^2+2y^2 $

Nó na ná định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương.Chứng minh dùng thuận nghịch bp và định lý Thue..Tính một hồi thì thấy nó không áp dụng cho bài này được mới buồn chứ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi batigoal

Cho dãy số $a_n;n \ge 1 $.Xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix}
a_{1}= 3 & a_{2}= 11 \\
a_{n}= 4a_{n-1}-a_{n-2} & n\geq 3
\end{matrix}\right. $
Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy đều có biểu diễn dưới dạng $a^2+2b^2 $ với $a,b $ là các số tự nhiên

Bài này mình thấy quen lắm, hình như đã gặp ở đâu rồi.
Ngoài cách của bạn Hải, ta có thể giải như sau:

Ý tưởng quy nạp và tìm quy luật của các số a, b tương ứng cho từng số hạng.
Quan sát dãy sau, chắc các bạn có thể tìm thấy quy luật của a, b:
$u_1=3 = 1^2+2.1^2 $
$u_2=11 = 3^2+2.1^2 $
$u_3= 41 = 3^2+2.4^2 $
$u_4 = 153 = 11 ^2+2.4^2 $
$u_5 = 571 = 11^2+2.15^2 $
$u_6 = 2131 = 41^2+2.15^2 $
$u_7 = 7953= 41^2+2.56^2 $
$u_8 = 29681 = 153^2+2.56^2 $

Quy luật đó chính là:

$u_{2n+2} = u_{n+1}^2 + 2(\frac{u_{n+1}-u_n}{2})^2 $

và

$u_{2n+3} = u_{n+1}^2 + 2(\frac{u_{n+2}-u_{n+1}}{2})^2 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vthiep94]

Nguyên văn bởi leviethai

Đây là cách giải của mình, có lẽ hơi dài.

Đặt $x = \sqrt 3 + 1,y = \sqrt 3 - 1, $ khi đó ta chứng minh được

$\[{a_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \cdot \frac{{{x^{2n + 1}} + {y^{2n + 1}}}}{{x + y}}\hspace{1cm} \forall n \in \mathbb N^*.\] $

Ta cũng có được sự ràng buộc giữa $x,y $ là

$\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2\sqrt 3 \\
xy = 2
\end{array} \right.\] $

Bằng việc dự đoán, ta sẽ chứng minh

$\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{2n}} = a_n^2 + 2{\left( {\dfrac{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}{2}} \right)^2}\\
{a_{2n + 1}} = a_n^2 + 2{\left( {{a_n} + \dfrac{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}{2}} \right)^2}.
\end{array} \right\] $

(do $a_n $ luôn lẻ nên $\dfrac{a_n-a_{n-1}}{2} $ là số nguyên)

Bằng việc đưa về hai biến $x,y, $ việc chứng minh điều trên sẽ không quá khó khăn.

Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $

bạn dự đoán thế nào vậy ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Cũng như anh huynhcongbang, ta viết vài giá trị đầu của dãy ra

$a_1=3 = 1^2+2.1^2, $
$a_2=11 = 3^2+2.1^2, $
$a_3= 41 = 3^2+2.4^2, $
$a_4 = 153 = 11 ^2+2.4^2, $
$a_5 = 571 = 11^2+2.15^2, $
$a_6 = 2131 = 41^2+2.15^2, $
$a_7 = 7953= 41^2+2.56^2, $
$a_8 = 29681 = 153^2+2.56^2. $

Ta đặt $a_i=x_i^2+2y_i^2 $ với $i $ từ $1 $ đến $8 $.

Ta dự đoán tính chất của dãy $x_i, $ dễ thấy đó chính là dãy $a_n $ và $a_n=x_{2n+1}=x_{2n+2} $. Việc dự đoán này không khó khăn lắm.

Tiếp theo, nhìn vào dãy $y_i $, ta thấy

$4=3+1=a_1+1, $
$15=11+4=a_2+4, $
$56=41+15=a_3+15. $

và

$4=\dfrac{11-3}{2}=\dfrac{a_2-a_1}{2}, $

$15=\dfrac{41-11}{2}=\dfrac{a_3-a_2}{2}, $

Đến đây thì mọi việc đã rõ ràng rồi. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

Nguyên văn bởi batigoal

Cho dãy số $a_n;n \ge 1 $.Xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix}
a_{1}= 3 & a_{2}= 11 \\
a_{n}= 4a_{n-1}-a_{n-2} & n\geq 3
\end{matrix}\right. $
Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy đều có biểu diễn dưới dạng $a^2+2b^2 $ với $a,b $ là các số tự nhiên

Bài này là dãy truy hồi, xét PT đặc trưng: $K^2-4K+3=0 $, ra hai nghiệm $K_1, K_2 $, rồi có
$a_n=C_1 K_1^n+C_2 K_2^n, $
$C_1, C_2 $ tính theo $a_1, a_2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi franciscokison

Bài này là dãy truy hồi, xét PT đặc trưng: $K^2-4K+3=0 $, ra hai nghiệm $K_1, K_2 $, rồi có
$a_n=C_1 K_1^n+C_2 K_2^n, $
$C_1, C_2 $ tính theo $a_1, a_2 $

Pt đặc trưng của bạn nhầm rồi. Phải là $K^2-4K+1=0 $ .
Đến đấy có thể tìm ra công thức tổng quát của dãy số .Nhưng để chứng minh mỗi số hạng có dạng $a^2+2b^2 $ làm rheo cách này e rằng sẽ gặp nhiều khó khăn.bài này giải như LeViethai và Huynhcongbang sẽ tốt hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pabopit]

Bài này là bài 5 Serbia MO 2008
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Serbi à.Pabopit xem hộ tôi với.Cái lời giải của silouan đúng ko?

T cũng có ý tưởng ấy từ hôm qua nhưng mà nếu $a_n $ dạng 8k+3 thì

các ước nguyên tố có thể là (8m+5),và (8n+7) (tích của chúng vẫn có dạng 8i+3).Cac số ng tố 8k+5,8k+7 thì làm sao xét được dạng biểu diễn $x^2+2y^2 $

Còn nếu $a_n $ đều là 8k+1 thì các ước ngto buộc chỉ có dạng 8k+1

và 8k+3 khi đó đẳng thức Lagrange

Nếu mọi ước nguyên tố của một số a biểu diễn dc dưới dạng $x^2+2y^2 $ thì a cũng biểu diễn dc dưới dạng $X^2+2Y^2 $

mới có tác dụng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pabopit]

Theo t thì lời giải của silouan đúng rồi Thanh à
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

À uh.Ngu quá,thấy cái $a_{n+2}\equiv_4 -a_n $ nên luẩn quẩn mãi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nói chung chúng ta sẽ có
$ a_{n-1}a_{n+1}=a_{n}^{2}+2 $ nên với mọi p là ước nguyên tố của $(a_n) $ thì $(-2/p)=1 $ nên theo tiêu chuẩn Euler p có dạng $8k+1 $ hoặc $8k+3 $.

Bổ đề: p là số nguyên tố có dạng $8k+1 $ hoặc $8k+3 $ thì p luôn biểu diễn được dưới dạng $a^2+2b^2 $

Chứng minh Tương tự định lý Fermat Euler.Do p có dạng như vậy nên $(-2/p)=1 $ nên tồn tại a sao cho $a^2\equiv_p-2 $.

Bổ đề Thue nói rằng với mọi a luôn tồn tại $0<x,y\in N<\sqrt p $ sao cho $ay\equiv_p x $ nên

$a^2y^2\equiv_p x^2 $ suy ra $p|x^2+2y^2 $.Đặt $x^2+2y^2=kp $

Dễ thấy $k=1,2 $ (do điều kiện chặn $x,y $ ở trên)

$i, $ $k=1 $ thì xong

$ii, $ $k=2 $ thì suy ra $x $ chẵn và $y $ lẻ và $p=2.(\frac{x}{2})^2)+y^2 $ xong.

Kết hợp với đẳng thức [Only registered and activated users can see links. ] tích các số có dạng $a^2+2b^2 $ là số có dạng $X^2+2Y^2 $ do đó $a_n $ có dạng $X^2+2Y^2 $.
Brute Force.$\tau $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]