Tính nguyên hàm hàm hữu tỉ.

[shinomoriaoshi]

Có một bài tìm nguyên hàm như thế này.
Tìm nguyên hàm sau: $I=\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx $
Và có cách làm như sau:
Biến đổi
$I=\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx $
Đặt $t=x+\frac{1}{x} $
Thì $dt=(1-\frac{1}{x^2})dx $
$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2 $
Vậy $I=\int\frac{dt}{t^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\ln|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+C $
Thay $t=x+\frac{1}{x} $ vào ta được nguyên hàm cần tìm.
Vậy, cho em hỏi cách làm như trên có đúng không ạ? Nếu không đúng, thì có cách làm nào khác không ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Theo mình cách trên đã ổn, nhưng không biết tại sao bạn lại hỏi như thế nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinomoriaoshi]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Theo mình cách trên đã ổn, nhưng không biết tại sao bạn lại hỏi như thế nhỉ?

Cảm ơn nhận xét của bạn. Lúc đầu mình nghĩ là ổn. Nhưng mình lại nghĩ tới cái bước chia tử và mẫu cho $x^2 $, phải có điều kiện. Và mình cũng chưa nghĩ được cách vòng qua chỗ này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi shinomoriaoshi

Cảm ơn nhận xét của bạn. Lúc đầu mình nghĩ là ổn. Nhưng mình lại nghĩ tới cái bước chia tử và mẫu cho $x^2 $, phải có điều kiện. Và mình cũng chưa nghĩ được cách vòng qua chỗ này.

Với việc tìm nguyên hàm thì không cần phải thông qua bước này Theo mình là vậy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinomoriaoshi]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Với việc tìm nguyên hàm thì không cần phải thông qua bước này Theo mình là vậy.

Cảm ơn bạn nhiều, nhưng mình thấy rằng hàm số $\frac{x^2-1}{x^4+1} $ không bằng hàm số $\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} $, với $x=0 $. Minh chưa rõ chỗ này lắm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi shinomoriaoshi

Cảm ơn bạn nhiều, nhưng mình thấy rằng hàm số $\frac{x^2-1}{x^4+1} $ không bằng hàm số $\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} $, với $x=0 $. Minh chưa rõ chỗ này lắm.

Khi bạn làm tích phân xác định thì mới cần bước này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[math213]

Nguyên văn bởi shinomoriaoshi

Có một bài tìm nguyên hàm như thế này.
Tìm nguyên hàm sau: $I=\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx $
Và có cách làm như sau:
Biến đổi
$I=\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx $
Đặt $t=x+\frac{1}{x} $
Thì $dt=(1-\frac{1}{x^2})dx $
$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2 $
Vậy $I=\int\frac{dt}{t^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\ln|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+C $
Thay $t=x+\frac{1}{x} $ vào ta được nguyên hàm cần tìm.
Vậy, cho em hỏi cách làm như trên có đúng không ạ? Nếu không đúng, thì có cách làm nào khác không ạ.

Bạn hãy tính tích phân $I=\int\limits_0^1\dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx $ sẽ có câu trả lời thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

[Only registered and activated users can see links. ]
Bạn thử tính cái $\int_{0}^{1} {\frac{dt}{t^2-2}} $ nó có ra đúng kết quả không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[math213]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

[Only registered and activated users can see links. ]
Bạn thử tính cái $\int_{0}^{1} {\frac{dt}{t^2-2}} $ nó có ra đúng kết quả không

Tại sao tính tích phân này, vấn đề ở chỗ là tính tích phân ở trên cơ mà ???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi math213

Tại sao tính tích phân này, vấn đề ở chỗ là tính tích phân ở trên cơ mà ???

Nếu gặp tích phân bạn nêu trên bị vướng ở chỗ $x=0 $ thì chỉ cần tính nguyên hàm của nó ra rồi chèn cận vào, bạn xem thử đúng kết quả đấy . Điều này chỉ được khi thế cận vào nguyên hàm tìm được thì nó có nghĩa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[math213]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Nếu gặp tích phân bạn nêu trên bị vướng ở chỗ $x=0 $ thì chỉ cần tính nguyên hàm của nó ra rồi chèn cận vào, bạn xem thử đúng kết quả đấy . Điều này chỉ được khi thế cận vào nguyên hàm tìm được thì nó có nghĩa.

Bạn có thể khắc phục điều này bằng cách khác chứ ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinomoriaoshi]

Nguyên văn bởi math213

Bạn có thể khắc phục điều này bằng cách khác chứ ?

Mình nghĩ là thay cận $x=0 $ bằng chữ, ví dụ $t $, sau đó tính hết quả theo $t $ rồi tính $lim $ của kết quả nhận được khi $t $ dần tới 0.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi shinomoriaoshi

Mình nghĩ là thay cận $x=0 $ bằng chữ, ví dụ $t $, sau đó tính hết quả theo $t $ rồi tính $lim $ của kết quả nhận được khi $t $ dần tới 0.

Ở THPT không học tích phân có cận vô hạn. Theo mình thì, khi tính tích phân hay tìm nguyên hàm ở bậc THPT thì tất cả các hàm dưới dấu tích phân đều liên tục và xác định. Do đó, khi gặp bài tính nguyên hàm mà phải dùng cách như lời giải trình bày trên thì ta coi như hàm đã cho xác định tại 0.

Trừ trường hợp bài này còn cách giải khác mà không phải dùng cách đặt ẩn kia thì chắc là họ thách đố mình

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath]

Nguyên văn bởi math213

Bạn có thể khắc phục điều này bằng cách khác chứ ?

Biến đổi $\dfrac{x^2-1}{x^4+1}=\dfrac{x^2-1}{(x^2+x\sqrt 2+1)(x^2-x\sqrt 2+1)}=\dfrac{1}{2\sqrt 2}\left(\dfrac{2x-\sqrt 2}{x^2-x\sqrt 2+1}-\dfrac{2x+\sqrt 2}{x^2+x\sqrt 2+1}\right) $

Sau đó tính tích phân bình thường
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[unknownuser1]

Mấy bài trên là cách giải chuẩn rồi
Tính tích phân sau
$\int x^{x}(1+\ln(x))dx $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]