Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !
Thưa thầy em xin đưa ý tưởng giải các bài PT - HPT được đưa ra. Còn bài 2 và bài 4.1 em sẽ bổ sung và lập 1 file hoàn chỉnh sau ạ. Cho em hỏi bài 4.1 đề có nhầm gì không ạ?
Trừ hai phương trình vế theo vế sau đó xét hàm $f(x)=x+\sqrt{x^2-2x+2}$ có $f'(x)=1+\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}+3^{x-1}.\ln 3 > 0$ do $\sqrt{x^2-2x+2}+x-1 > \sqrt{(x-1)^2}+x-1=|1-x|+x-1 \ge 1-x+x-1=0$ Từ đó có $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$ Ta cần giải phương trình $$x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{x-1}+1 \Leftrightarrow x-1+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{x-1}\ (*)$$ Để ý rằng $$(*) \Leftrightarrow \dfrac{x^2-2x+2-(x-1)^2}{\sqrt{x^2-2x+2}-(x-1)}=3^{x-1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}-(x-1)}=3^{x-1} \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+2}-(x-1)=3^{1-x}\ (**)$$ Lấy (*) trừ (**) ta có $$2x-2=3^{x-1}-3^{1-x} \Leftrightarrow 3^{x-1}-3^{1-x}-2x+2=0\ (1)$$ Đặt $VT(1)=f(x)$ thì $f'(x)=(3^{x-1}+3^{1-x}).\ln 3 -2 \ge 2\ln3-2>0$ theo AM-GM. Do đó $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x=1$.
Từ (1) suy ra $x=-y$. Có thể chứng minh theo cách lớp 9. Ở đây để nhanh ta dùng hàm số: $$(1) \Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=\dfrac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{y^2 +1}-y$$ Nghĩa là $f(x)=f(-y)$ với $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$. Dễ thấy $f'(t)>0$ nên $x=-y$. Từ đó dễ dàng giải tiếp.
Ta có $$(2) \Leftrightarrow (xy+2-\dfrac{1}{x})^2=0 \Leftrightarrow xy+2=\dfrac{1}{x} \Leftrightarrow y=\dfrac{1-2x}{x^2}$$ Thay vào (1) ta có $$(\dfrac{1-x^2}{x^2})^3-(\dfrac{1-2x}{x^2})^3=-xy-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}$$ Khai triển ta được phương trình $$6t^5-15t^4+8t^3+3t^2-1=\dfrac{1}{2}-t$$ Với $t=\dfrac{1}{x}$. Phương trình trên có nghiệm duy nhất $t=\dfrac{1}{2}$.
Công sức 1 buổi tối ...
Bạn ơi hình như câu 1 có nhầm lẫn j đấy, ở biểu thức thứ 2 là dấu trừ mà? Vậy thì fải chứng minh nó lớn hơn hoạc bằng chứ? [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]