|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
09-11-2016, 02:10 PM | #1 |
Super Moderator | Xét tính đầy đủ của tập trong $H^1$. Xét ${X_1} = \left\{ {x \in {H^1}\left( {0,1} \right),x\left( 1 \right) = 0} \right\}$ trên $X_1$ ta định nghĩa \[{\left\| x \right\|_{{X_1}}} = {\left\| {{x^\prime }} \right\|_{{L^2}}}\] Hỏi $X_1$ có đầy đủ hay không __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
16-11-2016, 11:51 PM | #2 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 75 Thanks: 5 Thanked 24 Times in 17 Posts | Lâu quá không động tay tới toán trìu tượng nhưng thấy bài này quen quen. Rõ là $X_1 $ đầy đủ trong $H^1$. CM: Lấy dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ về $x_0 \in H^1$, chứng minh $x_0 \in X_1$, tức là $x_0 (1) = 0$. Có thể sử dụng cách biểu diễn sau $$ \begin{align} x(t) = x(1) - \int_{t}^{1} x'(s) d s \end{align} $$ với mọi $x \in H^1$. Trước hết đong đưa tí. Nếu $x \in X_1$ thì $x(1) = 0$, và $$ \begin{align} | x(t) | \le \left| \int_{t}^{1} x'(s) d s \right| \end{align} $$ Chiều bđt trên vẫn ổn nếu đưa con trị toẹt vào trong tích phân, xong dồi phóng to nó nên bằng cách cho cmn $t=0$. Ngang đó dùng bđt Holder cho vế phải, rồi bình phương, rồi lấy tích phân theo $t$ bên vế trái, rồi rút ra được $$ \begin{align} \left\| x \right\|_{L^2} \le C_1 \left\| x' \right\|_{L^2} ~~~ \Rightarrow ~~~ \left\| x \right\|_{H^1} \le C_2 \left\| x' \right\|_{L^2} \end{align} $$ với mọi $x \in X_1$, trển $C_1$, $C_2$ là hằng số. Bi giờ quay lại trò mèo phía trên: \begin{align} x_n (1) &= x_n (t) + \int_{t}^{1} x_n '(s) d s , \\ x_0 (1) &= x_0 (t) + \int_{t}^{1} x_0 '(s) d s , \\ | x_n (1) - x_0 (1) | &\le | x_n (t)- x_0(t) | + \left| \int_{t}^{1} ( x_n '(s) - x_0' (s) ) d s \right| . \end{align} Nhái lại đoạn đánh giá bđt phía trên SAU KHI áp dụng cái bđt (gì quên cmn tên ) $ (a+b)^2 \le (1^2 + 1^2) (a^2 + b^2 ) $; khéo thì vãi ra được \begin{align} | x_n (1) - x_0 (1) | &\le C_3 \left\| x_n - x_0 \right\|_{H^1} . \end{align} Lấy giới hạn khi $n \uparrow \infty $ thì kết $x_0(1) = 0$. EDIT 01: kết quả này mà giao phối với phép nhúng liên tục $H^1 (0,1) \to C( [0,1] ) $ thì cho bức tranh toàn cảnh khá tươi tắn về vết của một phân bố trong $H^1$ trên biên. Hỏi: Điều này còn đúng trong $H^1 ( \Omega ) $ với $ \Omega = [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2 $ không? Giải thích. thay đổi nội dung bởi: brahman, 17-11-2016 lúc 10:57 AM |
The Following User Says Thank You to brahman For This Useful Post: | portgas_d_ace (17-11-2016) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|