|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
09-07-2012, 09:52 PM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | [IMO 2012] Bài 6 - Số học Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn $$ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1 $$ __________________ M. thay đổi nội dung bởi: novae, 12-07-2012 lúc 02:22 AM |
The Following 5 Users Say Thank You to novae For This Useful Post: | akaishuichi (12-07-2012), boykhtna1 (12-07-2012), NguyễnTiếnLHP (12-07-2012), thiendieu96 (13-07-2012), yamatunga (12-07-2012) |
12-07-2012, 04:21 AM | #2 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Gọi $n $ là tốt nếu $n $ thỏa mãn bài toán. Ta chứng minh một số tính chất sau: 1. $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $ Thật vậy, viết bài toán dạng $\sum\limits_{k=1}^{n}2^{a-a_{k}} = 2^{a} $ và $\sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a} $ với $a = \max\{a_{k}\} $ Ta có $\sum\limits_{k=1}^{n}k\equiv \sum\limits_{k=1}^{n}k.3^{a-a_{k}} = 3^{a}\equiv 1\pmod 2 $, do đó $n\equiv 1, 2 \pmod 4 $. 2. Nếu $n $ thỏa mãn bài toán và $n $ lẻ thì $n+1 $ cũng thỏa mãn bài toán. Chứng minh: Vì $n $ lẻ nên $j = (n+1)/2 $ là số nguyên dương. Đặt dãy mới như sau: $(b_1,...,b_{n+1}) = (a_1,a_2,..,a_{j-1},a_{j}+1,a_{j+1}...,a_{n},a_{n+1} = a_{j}+1) $ Dễ thấy $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2^{b_k}} = 1 $ và $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{k}{3^{b_k}} = 1 = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{3^{a_k}} - \frac{3j}{3^{a_j}} + \frac{3j}{3^{a_j+1}} + \frac{3(n+1)}{3^{a_j+1}} = 1 +\frac{3j+3n+3}{3^{a_j+1}} - \frac{3j}{3^{a_j}}= 1 $. 3. Nếu $n = 8l-2 $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn. Chứng minh như trên. Lặp dãy mới bằng cách chọn $j = (3n+6)/8 $ và thay $a_j $ bởi $a_{j}+2 $, thêm $a_{n+1},...,a_{n+3} = a_{j}+2 $. 4. Nếu $n + 2 = 3j $ và $n $ thỏa mãn thì $n+3 $ cũng thỏa mãn. __________________ Traum is giấc mơ. thay đổi nội dung bởi: Traum, 12-07-2012 lúc 06:53 AM |
The Following 9 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post: | akaishuichi (12-07-2012), hoang_kkk (12-07-2012), kien10a1 (12-07-2012), Lan Phuog (12-07-2012), lexuanthang (12-07-2012), pco (12-07-2012), philomath (12-07-2012), pnminh95 (12-07-2012), thiendieu96 (13-07-2012) |
12-07-2012, 11:00 AM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 89 Thanks: 19 Thanked 70 Times in 28 Posts | Bài 6 của IMO mà lại giải dựa vào các hằng đẳng thức "trời ơi" như vậy thì mình thấy ko thích lắm Hy vọng đội tuyển Việt Nam có người làm được Theo thông tin hành lang thì phần sau của bài 3 rất là khó, nên nếu làm 1, 2, 3.1, 4, 5, 6 là dư sức Vàng |
12-07-2012, 11:21 AM | #4 | |
Administrator | Trích:
Theo thông tin hành lang của em thì có vẻ năm nay làm được 5.5/6 mới chắc ăn có HCV nhỉ. __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
12-07-2012, 12:05 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 89 Thanks: 19 Thanked 70 Times in 28 Posts | À đấy chỉ là một cái chặn trên rất là rộng của em nghĩ ra thôi ạ |
12-07-2012, 01:49 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2012 Bài gởi: 29 Thanks: 5 Thanked 1 Time in 1 Post | Các anh có thể cho em biết ý tưởng để xây dựng được n như trên không ạ. |
12-07-2012, 02:17 PM | #7 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Trước hết, lời giải trên kia chưa đầy đủ và còn nhiều trường hợp $n = 8l+2 $ tốt cần phải giải quyết. Tuy nhiên trâu bò sẽ ra. Ý tưởng thì cũng khá tự nhiên. Sau khi đoán được $n\equiv 1,2\pmod 4 $ thì ý nghĩ sẽ là xây dựng dãy. Tuy nhiên ta thấy chính vế phải với các số hạng $\frac{k}{3^{a_k}} $ làm cho việc xây dựng dãy phức tạp nếu ta thay đổi nhiều $a_{k} $ một lúc. Do đó ta thử thay một $a_{k} $ bởi 2 số $a_{k}+1 $. Vấn đề là vị trí của 2 số này ở đâu, khi ta không muốn xáo trộn vị trí của các số còn lại. Cách đơn giản nhất là giữ một $a_{k}+1 $ tại vị trí của $a_{k} $ còn số còn lại thì cho vào vị trí cuối cùng là $n+1 $. Tính điều kiện một tí cho $k $ ta sẽ có $n $ phải lẻ. Từ bước đầu tiên đó ta có thể xây dựng các bước phức tạp hơn bằng cách sử dụng $1 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4; 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8,... $ __________________ Traum is giấc mơ. thay đổi nội dung bởi: Traum, 12-07-2012 lúc 02:20 PM |
The Following User Says Thank You to Traum For This Useful Post: | perfectstrong (12-07-2012) |
Bookmarks |
|
|