Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

[Cẩm Lynh]

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng

1. $
   \dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+ \dfrac{1}{\sin C} \geq \dfrac{1}{\cos \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{\cos \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{\cos \frac{C}{2}}
   $.
2. $\dfrac{1}{\sin^nA}+\dfrac{1}{\sin^nB}+\dfrac{1}{ \sin^n C} \geq \dfrac{1}{\cos^n \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{\cos^n \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{\cos^n \frac{C}{2}}, \ n \in \mathbb{N}^*$.

------------------------------
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[queen669]

Nguyên văn bởi Cẩm Lynh

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
$
\dfrac{1}{sin A}+\dfrac{1}{sin B}+ \dfrac{1}{sin C} \geq \dfrac{1}{cos \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{cos \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{cos \frac{C}{2}}
$
------------------------------
$\dfrac{1}{sin^nA}+\dfrac{1}{sin^nB}+\dfrac{1}{sin^ nC} \geq \dfrac{1}{cos^n \frac{A}{2}}+\dfrac{1}{cos^n \frac{B}{2}}+\dfrac{1}{cos^n \frac{C}{2}}, \ n \in \mathbb{N}^* $

Với $x;\,y\in (0;\,\pi)$ do $\sin x;\,\sin y>0$ và bất đẳng thức trung bình điều hoà nên
\[\frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\sin y}} \ge \frac{4}{{\sin x + \sin y}} = \frac{2}{{\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{{x + y}}{2}}};\;(1)\]
Với các số thực $a;\,b>0$, lại theo bất đẳng thức Bernouli ta có
\[\begin{array}{l}
{a^n} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} + n.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{n - 1}}\left( {a - \frac{{a + b}}{2}} \right)\\
{b^n} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} + n.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{n - 1}}\left( {b - \frac{{a + b}}{2}} \right)
\end{array}\]
Cộng lại ta có được
\[{a^n} + {b^n} \ge 2.{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\quad\forall\,a;\,b>0;\;(2)\]
Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có
\[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}B}}} \right) \ge {\left( {\frac{{\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}}}}{2}} \right)^n} \ge {\left( {\frac{1}{{\sin \frac{{A + B}}{2}}}} \right)^n} \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\]
Đánh giá tương tự để có
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}B}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\\
\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}B}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}C}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{A}{2}}}\\
\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^n}C}} + \frac{1}{{{{\sin }^n}A}}} \right) \ge \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{B}{2}}}
\end{array}\]
Cộng lại ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[babyteen9x]

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sin^nx}$ trên $(0;\,\pi)$ có
\[f^{"}\left( x \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right){{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^{n + 2}}x}} + \frac{n}{{{{\sin }^n}x}} > 0\quad\forall\,x\in (0;\,\pi)\]
Vậy, $f(x)$ là hàm lồi trên $(0;\,\pi )$ nên theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có
\[\begin{array}{l}
f\left( A \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {A - \frac{{A + B}}{2}} \right)\\
f\left( B \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {B - \frac{{A + B}}{2}} \right)
\end{array}\]
Cộng lại sẽ có được
\[\frac{{f\left( A \right) + f\left( B \right)}}{2} \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \frac{1}{{{{\sin }^n}\frac{{A + B}}{2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\]
Tương tự rồi cộng lại sẽ có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThanhhThuyy]

$\sum_{\text{cyc}} \dfrac{1}{\left(\alpha \sin A+\beta\right)^n} \geq \sum \dfrac{1}{\left(\alpha \cos \frac{A}{2}+\beta\right)^n} \ (\alpha, \beta>0, n \in \mathbb{N}^*) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[312cr9]

Nguyên văn bởi ThanhhThuyy

$\sum_{\text{cyc}} \dfrac{1}{\left(\alpha \sin A+\beta\right)^n} \geq \sum \dfrac{1}{\left(\alpha \cos \frac{A}{2}+\beta\right)^n} \ (\alpha, \beta>0, n \in \mathbb{N}^*) $

Bài này cũng giải hệt như hai cách giải cho bài ban đầu thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]