Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 29-12-2010, 09:04 AM   #1
Lan Phuog
+Thành Viên Danh Dự+
 
Lan Phuog's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Đến từ: Thái Bình
Bài gởi: 564
Thanks: 289
Thanked 326 Times in 182 Posts
Bất đẳng thức mới

Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $abc=1 $. cmr:
$\frac{a}{\sqrt{a^4+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^4+3}}+ \frac{c}{\sqrt{c^4+3}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Lan Phuog, 29-12-2010 lúc 09:11 AM
Lan Phuog is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Lan Phuog For This Useful Post:
Ino_chan (30-05-2011)
Old 29-12-2010, 09:56 AM   #2
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Lan Phuog View Post
Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $abc=1 $. cmr:
$\frac{a}{\sqrt{a^4+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^4+3}}+ \frac{c}{\sqrt{c^4+3}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $

theo bunhia $4(a^4+3) \ge (a^2+3)^2 $ do đó
$\frac{VT}{2}=\bigg(\sum_{cyc} \frac{a}{4\sqrt{a^4+3}}\bigg) \le \sum_{cyc}\frac{a}{a^2+3}} $

mà $\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+3} \le \frac{3}{4} $

mặt khác $VP \ge \frac{3}{2} $

ta có điều phải chứng minh.
------------------------------
Thử bài tương tự như thế này :


Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $abc=1 $. cmr:
$\frac{1}{\sqrt{a^4+3}}+\frac{1}{\sqrt{b^4+3}}+ \frac{1}{\sqrt{c^4+3}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: daylight, 29-12-2010 lúc 10:50 AM Lý do: Tự động gộp bài
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to daylight For This Useful Post:
Unknowing (29-12-2010)
Old 29-12-2010, 11:57 AM   #3
DoThanhBinh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 17
Thanks: 2
Thanked 6 Times in 4 Posts
Mà $\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+3} \le \frac{3}{4} $



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DoThanhBinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2010, 01:02 PM   #4
daylight
+Thành Viên+
 
daylight's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: Dan Phuong upper secondary school
Bài gởi: 551
Thanks: 876
Thanked 325 Times in 188 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DoThanhBinh View Post
Mà $\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+3} \le \frac{3}{4} $


$\frac{2\sqrt{ab}}{ab+3}-\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^3+3} $

$=\bigg(\frac{2\sqrt{ab}}{ab+3}-\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}}\bigg)-\bigg(\sqrt{\frac{a}{a^2+3}}-\sqrt{\frac{b}{b^2+3}}\bigg)^2 $

$=2\sqrt{ab}\bigg(\frac{3(a-b)^2}{(ab+3)\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}(ab+3+\sqrt{(a^2+ 3)(b^2+3)}}\bigg)-\frac{(3-ab)^2(a-b)^2}{(a^2+3)(b^2+3)\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+\sqrt{b( a^2+3)}\bigg)^2} $

Bây giờ tớ sẽ chứng minh:

$\frac{6\sqrt{ab}}{(ab+3)(ab+3+\sqrt{(a^2+3)(b^2+3) })} \ge \frac{(3-ab)^2}{\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+ \sqrt{b(a^2+3)}\bigg)^2} $

Giả sử $a \ge b \ge c $

trường hợp $ab \ge 3 $ thì $c \le \frac{1}{3} $

$VT \le_{\text{AM-GM}} \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{28}-\frac{(3c-1)(c-9)}{28(c^2+3)} < \frac{3}{4} $

vậy trường hợp này thỏa mãn

xét $3 > ab \ge 1 $


lúc này $6\sqrt{ab} \ge 6>4 \ge (3-ab)^2 $


và $\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} \ge (ab+3) $

$\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+\sqrt{b(a^2+3)}\bigg)^2 \ge 4\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} > ab+3+\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} $

hay là

$\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+1} \le \frac{2\sqrt{c}}{1+3c} +\frac{c}{c^2+1} \le \frac{3}{4} $





[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: daylight, 29-12-2010 lúc 06:19 PM
daylight is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to daylight For This Useful Post:
DoThanhBinh (29-12-2010)
Old 29-12-2010, 01:11 PM   #5
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
$\frac{2\sqrt{ab}}{ab+3}-\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^3+3} $

$=\bigg(\frac{2\sqrt{ab}}{ab+3}-\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}}\bigg)-\bigg(\sqrt{\frac{a}{a^2+3}}-\sqrt{\frac{b}{b^2+3}}\bigg)^2 $

$=2\sqrt{ab}\bigg(\frac{3(a-b)^2}{(ab+3)\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}(ab+3+\sqrt{(a^2+ 3)(b^2+3)}}\bigg)-\frac{(3-ab)^2(a-b)^2}{(a^2+3)(b^2+3)\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+\sqrt{b( a^2+3)}\bigg)^2} $

Bây giờ tớ sẽ chứng minh:

$\frac{6\sqrt{ab}}{(ab+3)(ab+3+\sqrt{(a^2+3)(b^2+3) })} \ge \frac{(3-ab)^2}{\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+ \sqrt{b(a^2+3)}\bigg)^2} $

Giả sử $c \le 1 $ thì $ab \ge 1 $

lúc này $6\sqrt{ab} \ge 6>4 \ge (3-ab)^2 $


và $\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} \ge (ab+3) $

$\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+\sqrt{b(a^2+3)}\bigg)^2 \ge 4\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} > ab+3+\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} $

hay là

$\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+1} \le \frac{2\sqrt{c}}{1+3c} +\frac{c}{c^2+1} \le \frac{3}{4} $




Cám ơn vì lời giải.
Nhưng chỗ này không đúng

Trích:
Giả sử $c \le 1 $ thì $ab \ge 1 $

lúc này $6\sqrt{ab} \ge 6>4 \ge (3-ab)^2 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to leviethai For This Useful Post:
daylight (29-12-2010)
Old 29-12-2010, 05:29 PM   #6
DoThanhBinh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 17
Thanks: 2
Thanked 6 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daylight View Post
$\frac{2\sqrt{ab}}{ab+3}-\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^3+3} $

$=\bigg(\frac{2\sqrt{ab}}{ab+3}-\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}}\bigg)-\bigg(\sqrt{\frac{a}{a^2+3}}-\sqrt{\frac{b}{b^2+3}}\bigg)^2 $

$=2\sqrt{ab}\bigg(\frac{3(a-b)^2}{(ab+3)\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}(ab+3+\sqrt{(a^2+ 3)(b^2+3)}}\bigg)-\frac{(3-ab)^2(a-b)^2}{(a^2+3)(b^2+3)\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+\sqrt{b( a^2+3)}\bigg)^2} $

Bây giờ tớ sẽ chứng minh:

$\frac{6\sqrt{ab}}{(ab+3)(ab+3+\sqrt{(a^2+3)(b^2+3) })} \ge \frac{(3-ab)^2}{\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)}\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+ \sqrt{b(a^2+3)}\bigg)^2} $

Giả sử $a \ge b \ge c $

trường hợp $ab \ge 3 $ thì $c \le \frac{1}{3} $

$VT \le_{\text{AM-GM}} \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{28}-\frac{(3c-1)(c-9)}{28(c^2+3)} < \frac{3}{4} $

vậy trường hợp này thỏa mãn

xét $3 > ab \ge 1 $

Giả sử $c \le 1 $ thì $ab \ge 1 $

lúc này $6\sqrt{ab} \ge 6>4 \ge (3-ab)^2 $


và $\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} \ge (ab+3) $

$\bigg(\sqrt{a(b^2+3)}+\sqrt{b(a^2+3)}\bigg)^2 \ge 4\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} > ab+3+\sqrt{(a^2+3)(b^2+3)} $

hay là

$\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+1} \le \frac{2\sqrt{c}}{1+3c} +\frac{c}{c^2+1} \le \frac{3}{4} $





[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DoThanhBinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 29-12-2010, 06:12 PM   #7
vinhhop.qt
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Bài gởi: 85
Thanks: 44
Thanked 70 Times in 34 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Lan Phuog View Post
Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $abc=1 $. cmr:
$\frac{a}{\sqrt{a^4+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^4+3}}+ \frac{c}{\sqrt{c^4+3}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $
Các cậu làm phức tạp hóa bài toán mất rồi. Nó có thể đơn giản thế này thôi:
$\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge \frac{4}{bc}=\frac{4}{(bc)\cdot 1} $

$\ge \frac{8}{b^2c^2+1}=\frac{8}{\frac{1}{a^2}+1}=\frac {16}{\frac{2}{a^2}+2} $
$\ge \frac{16}{\frac{2}{a^2}+(a^2+\frac{1}{a^2})} $

$\ge\frac{16}{\frac{3}{a^2}+a^2}=\frac{16a^2}{3+a^4 } $.
Từ đó suy ra
$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{4a}{\sqrt{3+a^4}} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vinhhop.qt, 29-12-2010 lúc 06:27 PM Lý do: Tự động gộp bài
vinhhop.qt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to vinhhop.qt For This Useful Post:
avip (29-12-2010), daylight (29-12-2010), haimap27 (11-04-2011), Messi_ndt (04-03-2011), th2091 (18-02-2011), Unknowing (29-12-2010), view (30-12-2010)
Old 30-12-2010, 12:32 PM   #8
view
+Thành Viên+
 
view's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Nghe An
Bài gởi: 7
Thanks: 7
Thanked 2 Times in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi vinhhop.qt View Post
Các cậu làm phức tạp hóa bài toán mất rồi. Nó có thể đơn giản thế này thôi:
$\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge \frac{4}{bc}=\frac{4}{(bc)\cdot 1} $

$\ge \frac{8}{b^2c^2+1}=\frac{8}{\frac{1}{a^2}+1}=\frac {16}{\frac{2}{a^2}+2} $
$\ge \frac{16}{\frac{2}{a^2}+(a^2+\frac{1}{a^2})} $

$\ge\frac{16}{\frac{3}{a^2}+a^2}=\frac{16a^2}{3+a^4 } $.
Từ đó suy ra
$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{4a}{\sqrt{3+a^4}} $.
có cần phải thế này đâu, cái này đơn giản chỉ là :
áp dụng bđt AM-GM ta có
$a^4+1+1+1\geq 4a =>\frac{a}{\sqrt{a^4+3}}\leq \frac{a}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2}
$
tương tự như thế với b,c ta có
$VT\leq\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})
=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac }}+\frac{1}{\sqrt{ab}}) $
mà CM biểu thức trong ngoặc đó bé hơnbiểu thức trong ngoặc của VP thì dễ rồi, vậy ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: view, 30-12-2010 lúc 12:36 PM
view is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to view For This Useful Post:
boykutengheo (01-04-2011), nhox12764 (30-12-2010)
Old 03-02-2011, 03:14 PM   #9
nguoivn
Banned
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 42
Thanks: 2
Thanked 66 Times in 26 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DoThanhBinh View Post
$\sum_{cyc} \frac{a}{a^2+3} \le \frac{3}{4} $


Các em có thể tham khảo lời giải ở đây:
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nguoivn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to nguoivn For This Useful Post:
Eragon1994 (03-02-2011), honeysuckle (22-02-2011), tienthuy_33 (31-03-2011), vthiep94 (11-04-2011)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:05 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 84.48 k/95.67 k (11.70%)]