Đề thi các trường và các tỉnh 2012-2013 Lời giải và bình luận

[namdung]

Cảm ơn thầy Ban cũng đã góp sức.

Tôi tiếp tục gửi cập nhật mới nhất các bài về Bất đẳng thức.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathmath123]

Thầy Nam Dũng cho em hỏi những bất đẳng thức nào được sử dụng trong thi hsg,có được sử dụng Holder và Chê-bư-sép không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Các bất đẳng thức Chebysev, Holder cùng với Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, AM-GM, Bec-nu-li là các bất đẳng thức được sử dụng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Em đang tổng hợp lời giải phần Tổ hợp, chắc khoảng vài ngày nữa là xong. Trong đó, có bài chọn đội tuyển của KHTN ngày 2 em nghe nói bị sai đề, tác giả bài toán cũng giải không được, không biết giờ tính sao đây:
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=36226
Còn bài cuối đề chọn đội tuyển ĐHSP không tính là một bài tổ hợp sao thầy, em không thấy trong file mới:
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=36680
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ispectorgadget]

Nguyên văn bởi namdung

Cảm ơn thầy Ban cũng đã góp sức.

Tôi tiếp tục gửi cập nhật mới nhất các bài về Bất đẳng thức.

Bài 10: (Hải phòng) Cho 3 số thực $a,b,c \in [\alpha ;\beta ]$ mà $\beta -\alpha \le 2$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{ab+1}+\sqrt{bc+1}+\sqrt{ac+1}>a+b+c$$

Ta có: $\sqrt{ab+1} \ge \sqrt{ab+\bigg(\frac{a-b}{2}\bigg)^2}=|\frac{a+b}{2}|.$
Tương tự $$\sqrt{bc+1} \ge \sqrt{bc+\bigg(\frac{b-c}{2}\bigg)^2}=|\frac{b+c}{2}|.$$
$$\sqrt{ac+1} \ge \sqrt{ac+\bigg(\frac{a-c}{2}\bigg)^2}=|\frac{a+c}{2}|.$$
Cộng lại rồi sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $|x|+|y|+|z|\ge |x+y+z|$ ta có điều cần chứng minh.

Bài 11: (Đề thi HSG lớp 12 Hải Phòng - 2012)
Cho $x,y,z\ge 0$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=1.$ Chứng minh rằng
$$2(x^3+y^3+z^3)+x^2+y^2+z^2+18xyz\ge 1.$$

Ta cần chứng minh :
$$2(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+18xyz\ge (x+y+z)^2$$
$$\Leftrightarrow x^2+y^3+z^3+3xyz+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$
Đúng theo Schur và $xyz\ge 0$ .
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}, z=0$ và các hoán vị tương ứng. $\blacksquare$

Câu 19: (Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia TP.HCM vòng 1- 2012)
Cho $x,y,z>0$ và $\dfrac 1 x + \dfrac 1 y + \dfrac 1 z =1$. Chứng minh:$$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \ge \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

Nhân giả thiết cho $\sqrt{xyz}$ ta có:$\sqrt{xyz}=\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{yz }{x} }+\sqrt{\frac{xz}{y}}$
Ta dễ dàng chứng minh được $$\sqrt{z+xy}\ge \sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}$$
$$\Leftrightarrow z+xy\ge z+\frac{xy}{z}+2\sqrt{xy}$$
$$\Leftrightarrow z+xy\ge z+xy(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})+2\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y\ge 2\sqrt{xy}$$ Điều này đúng theo bất đẳng thức AM-GM
Thiết lập tương tự rồi cộng lại ta có điều cần chứng minh $\blacksquare$

Bài 20: Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:
\[P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\]

Ta sẽ chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$
Do đây là 1 bất đẳng thức hoán vị vòng quanh nên ta sẽ xét 2 trường hợp:
$\bullet$ Nếu $a\geq b\geq c$.Lúc đó hiển nhiên ta có điều phải chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 0\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$
$\bullet$ Nếu $a\leq b\leq c$.Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$4(a+b+c)(b-c)(c-b)(c-a)\leq \left[(a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)\right]^2$$
Vậy nên ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)$$
$$\Leftrightarrow a(2a+2c-b)\geq 0$$
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $b=(\sqrt{2}-1)c,a=0$ và các hoán vị $\square$

Bài 13: (Sơn La) (Bài này trong file của thầy ghi thiết R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) nên em bổ sung luôn
Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ nằm trong tam giác. Lần lượt gọi $x,y,z$ là độ cao tương ứng hạ từ $M$ xuống các cạnh $BC,AC,AB$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:
$$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = \dfrac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {ax} + \dfrac{1}{{\sqrt b }}\sqrt {by} + \dfrac{1}{{\sqrt c }}\sqrt {cz} \le $$
$$ \le \sqrt {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\left( {ax + by + cz} \right)} = \sqrt {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)2S} = \sqrt {\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\dfrac{{abc}}{{2R}}} $$
$$ = \sqrt {\dfrac{{ab + bc + ca}}{{2R}}} \le \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = z\\
a = b = c
\end{array} \right.$

Nếu như cần em có thể tổng hợp lại phần BĐT giúp thầy ạ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Cảm ơn bạn ispectorgadget. Bạn có thể tổng hợp lời giải phần 2 BDT vào file word được không, vì phần 1 thì thầy Đại và tôi đã làm xong.

Mọi người cùng vào bình luận và giải giúp các phần còn lại, cũng như tổng hợp thêm các đề của các phần khác nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenThanhThi]

Em xin gửi thầy cái này,hình như chưa ai đăng hết,Mong là có ích ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ispectorgadget]

Ráng giải quyết thêm mấy bài BĐT
Bài 16: (Quảng Bình) Cho $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2=2$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $M=x^2(x+2)+y^2(y+2)+3(x+y)(xy-4)$

Biến đổi
$$M=\left ( x^3+y^3 \right )+2\left ( x^2+y^2 \right )+3(x+y)(xy-4)=(x+y)(2-xy)+3(x+y)(xy-4)+4$$
Đặt $x+y=t$, từ đề bài ta có $x^2+y^2=2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} \Rightarrow -2 \leq x+y \leq 2\Rightarrow -2\leq t \leq 2$
$$f(t)=t\left ( 2-\frac{t^2-2}{2} \right )+3t\left ( \frac{t^2-2}{2}-4 \right )+4\, \, \, \,\, \, \, ; t\in [-2;2]$$
$f(t)=t^3-12t+4$
Tới đây khảo sát hàm là xong

Bài 15: (Quảng Bình) Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{36}{9+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+ {{z}^{2}}{{x}^{2}}}\].

Ta có: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{36}{12\sqrt[3]{abc}}$$
$$\geq \frac{36}{12\sqrt[12]{(abc)^{4}}}\geq \frac{36}{12\sqrt[12]{(ab)^{2}(bc)^{2}(ca)^{2}1.1.1.1.1.1.1.1.1}}$$
$$\geq \frac{36}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+9}$$
Vậy bài toán được chứng minh.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ispectorgadget]

Đây là đáp án 1 số bài của file BĐT 2 .

Trong này còn 1 bài mình chưa giải được
17. (Bến Tre) Cho P là điểm nằm ngoài trên hyperbol xy = 4 và Q là điểm nằm trên elip $x^2 + 4y^2 = 4$. Chứng minh độ dài đoạn PQ lớn hơn 1.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Cảm ơn sự đóng góp của các bạn cho chủ đề. Vừa qua đã diễn ra thêm khá nhiều kỳ thi của các tỉnh, và chúng ta sẽ tiếp tục cập nhật để hoàn chỉnh. Chúng tôi chào đón sự góp sức của tất cả các bạn, tuy nhiên để có định hướng và sớm hoàn chỉnh file tổng hợp, nhờ các bạn sau tổng hợp phần mình phụ trách vào file word để có thể kết nối lại thành phiên bản cuối cùng.

1. Bạn Traubo: Phụ trách phần PT-HPT
2. Thầy Nguyễn Tất Thu phụ trách phần PTH-Đa thức
3. Thầy thaygiaochuyenht phụ trách phần số học
4. Bạn IspectorGadget phụ trách phần Bất đẳng thức (có gì thầy Đại sẽ giúp sức)
5. Bạn huynhcongbang phụ trách phần tổ hợp (bạn kien10a1 góp sức)
6. Thầy quangbynh phụ trách phần hình học. Bạn nào xung phong giúp đỡ thầy Ban?

Rất mong mọi người nhận lời.

Tôi gửi tiếp phần Dãy số và giới hạn. Bạn nào xung phong phụ trách phần này?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Em xin gửi lời giải phần PT - HPT.
Đã sẵn sàng tiếp tục giải đề.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Chào TrauBo và các thầy, các bạn khác: Nhiệm vụ của người phụ trách bao gồm cả việc tập hợp các đề thi được gửi trên MS để gom vào file luôn, chứ không chỉ trình bày lời giải . Mọi người chịu khó một chút nhé, vì chương trình sắp đến giai đoạn 2 rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Vâng ạ mai em sẽ làm nốt.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DaiToan]

Đây là phần BĐT tổng hợp thêm các bài khác. Phai này có sử dụng một số bài của IspectorGadget có bổ sung hoàn thiện các lời giải và thêm một số bài mới...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ispectorgadget]

Một số bài BĐT mình gom được
(Đề thi HSG Quảng Ninh ) Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn : $abc = 2\sqrt{2}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$ P = \dfrac{a^6+b^6}{a^4+b^4+a^2b^2}+ \dfrac{b^6+c^6}{b^4+c^4+b^2c^2}+ \dfrac{c^6+a^6}{c^4+a^4+c^2a^2}$$

(Đề chọn HSG quốc gia tỉnh Bình Thuận)
Tìm tất cả các giá trị của $x\in [0,2\pi ]$ sao cho:
$$2cosx\leq |\sqrt{1+sin2x}-\sqrt{1-sin2x}|\leq \sqrt{2}$$

(Đề chọn đội tuyển HSG quốc gia Hải Phòng )
Cho $a,b,c,d$ thực thỏa mãn $a+b+c+d=2.$ Chứng minh rằng
$$\frac{a}{a^2-a+1}+\frac{b}{b^2-b+1}+\frac{c}{c^2-c+1}+\frac{d}{d^2-d+1}\le\frac{8}{3}.$$

(đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du Đák lak) Cho a, b, c là 3 số thực dương. Chứng minh:
$\sum \frac{a^{2}-bc}{\sqrt{8a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}} \geq 0 $

Một số bài đã có lời giải trên diễn đàn các bạn có thể đưa ra lời giải khác hoặc bình luận.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]