Chứng minh tam giác AMN vuông.

[coixaygiovt]

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi E là trung điểm AH. Đường trung trực cạnh AB cắt BC tại M, CE tại N. Chứng minh tam giác AMN vuông.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi coixaygiovt

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi E là trung điểm AH. Đường trung trực cạnh AB cắt BC tại M, CE tại N. Chứng minh tam giác AMN vuông.

Sử dụng $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$, ta có \[\begin{aligned}\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{AM} &= AM^2 + \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AM} \\&= AM^2 - \dfrac{1}{2}MN \cdot AC \end{aligned}\] Chỉ cần chỉ ra tích trên bằng $0$. Dễ dàng thấy được điều này nhờ định lý Thales và Menelaus cho tam giác $AHM$ với $E,G,C$ thẳng hàng ($G$ là giao điểm của $AM$ và $CE$) $$\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{GM}{GN}$$$$\dfrac{EA}{EH} \cdot \dfrac{CH}{CM}\cdot \dfrac{GM}{GA}=1.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[coixaygiovt]

Nguyên văn bởi sang89

Sử dụng $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$, ta có \[\begin{aligned}\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{AM} &= AM^2 + \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AM} \\&= AM^2 - \dfrac{1}{2}MN \cdot AC \end{aligned}\] Chỉ cần chỉ ra tích trên bằng $0$. Dễ dàng thấy được điều này nhờ định lý Thales và Menelaus cho tam giác $AHM$ với $E,G,C$ thẳng hàng ($G$ là giao điểm của $AM$ và $CE$) $$\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{GM}{GN}$$$$\dfrac{EA}{EH} \cdot \dfrac{CH}{CM}\cdot \dfrac{GM}{GA}=1.$$

Đây là bài toán hình học lớp 8, các cháu chưa học véc tơ ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sang89]

Nguyên văn bởi coixaygiovt

Đây là bài toán hình học lớp 8, các cháu chưa học véc tơ ạ.

Gọi $S$ là giao điểm của $AB$ và $MN$ thì ta cần chứng minh $AM^2 = MS \cdot MN$. $MS$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $MS = 1/2 AC$. $MN$ cũng tính được theo lời giải nêu trên. Do đó, đẳng thức trên có thể chứng minh được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[coixaygiovt]

Nguyên văn bởi sang89

Gọi $S$ là giao điểm của $AB$ và $MN$ thì ta cần chứng minh $AM^2 = MS \cdot MN$. $MS$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $MS = 1/2 AC$. $MN$ cũng tính được theo lời giải nêu trên. Do đó, đẳng thức trên có thể chứng minh được.

Vấn đề tính MN như thế nào? Các cháu chưa học hệ thức lượng trong tam giác thường.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[liverpool29]

Gọi $K$ là trung điểm của $AB$.
Ta có $\Delta CAB \backsim \Delta CHA$, hai tam giác này có $CK,CE$ lần lượt là trung tuyến tương ứng, suy ra $\widehat{BCK}=\widehat{ACN}=\widehat{MNC}$.
Hay ta có $\widehat{MCK}=\widehat{MNC}$, suy ra $MK.MN=MC^2=MA^2$
Suy ra $\Delta AMN$ vuông tại $A$ (đccm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]