Áp dụng định lí 4 điểm

[tuananh821998]

Cho đoạn thẳng AB có C là trung điểm của nó . ĐƯờng tròn (O1) đi qua A,C cắt đường tròn (O2) đi qua B,C tại 2 điểm khác nhau C,D . Gọi P là trung điểm cung AD chứa C của (O1) , Q là trung điểm cung BD chứa C của (O2) . Chứng minh PQ vuông góc với CD
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[imalx]

Gọi $G, H$ là trung điểm của $AD, BD$; dễ thấy $GH$ cắt $DC$ tại trung điểm $L$ của $DC$. Do $O_{1}O_{2}$ cắt $DC$ tại trung điểm của $DC$ nên ba đường $GH, DC, O_{1}O_{2}$ đồng qui tại $L$.
Dễ thấy các tứ giác $GDLO_{1}$ và $HO_{2}DL$ là các tứ giác nội tiếp.
Tiếp theo thấy $\Delta GDO_{1}\sim \Delta HDO_{2}$ nên nếu gọi $K\equiv PO_{1}\cap QO_{2}$ thì $KO_{1}/KO_{2} = sinO_{1}O_{2}K / sin KO_{1}O_{2} = sinDHG/sinDGH = GD/DH = DO_{1}/DO_{2} = PO_{1}/QO_{2}$.
Điều trên dẫn đến $PQ\parallel O_{1}O_{2}$ hay $PQ\perp DC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]