|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
01-11-2012, 12:41 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm. Thưa các bạn/các anh trong diễn đàn,được sự đồng ý của hôm nay em xin lập topic này.Như mọi người đã biết thì phương pháp sử dụng tính chất của hàm số,đạo hàm để giải bất đẳng thức là một phương pháp khá hay,phù hợp với cả cho thi đại học và học sinh giỏi.Với phương pháp này các bài toán trở nên tự nhiên,đơn giản hơn trong các bước biến đổi.Topic này các bạn sẽ đăng bài và đưa ra những cách giải quyết bằng phương pháp hàm số,đạo hàm,nhầm giúp mọi người khoét sâu vào mảng này hơn đạt được kết quả học tập tốt hơn.Các bạn đăng bài nhớ đánh số bài theo thứ tự Rất mong nhận được sự tham gia trao đổi của các bạn,các anh chị Sau đây mình xin mở đầu bằng 1 bài toán .Bài toán như sau: Bài 1:Cho a,b,c là ba số thực không âm đội một khác nhau,tim min của P: $P=\left [ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ] $ Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \} $.Khi đó ta có $a-c\leq a $,$b-c\leq b $.Suy ra: $P\geq \left [ (a+b)^2+b^2+a^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right ] $ $=\frac{2(a^2+b^2+ab)}{a^2-2ab+b^2}+\frac{2(a^2+ab+b^2)}{a^2}+\frac{2(a^2+ab+ b^2)}{b^2} $ $=2\left [ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}{\frac{a}{b}+\frac {b}{a}-2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right ) \right ] $ Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t,t> 2 $. Xét hàm số $f(t)=\frac{t+1}{t-2}+t^2+t $ có $f'(t)=\frac{-3}{(t-2)^2}+2t+1=0\Leftrightarrow 2t^3-7t^2+4t+1=0 $ do $t> 2 $ ta chỉ nhận nghiệm $t=\frac{5+\sqrt{33}}{4} $ Lập bảng biến thiên ta nhận được $minf(t)=\frac{59+11\sqrt{33}}{8} $ $\Rightarrow minP=\frac{59+11\sqrt{33}}{4} $ Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} c=0\\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5+\sqrt{33}}{4} \end{matrix}\right. $ và các hoán vị. Nhận xét với bài toán trên thật rất khó để dự đoán điểm rơi thì việc ta giải quyết nó bằng đạo hàm sẽ làm cho bước đi của ta tự nhiên hơn rất nhiều mà không cần dủng đến những bất đẳng thức phụ phức tạp khác. __________________ |
The Following 24 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | .::skyscape::. (19-03-2013), alentist (01-11-2012), Conan Edogawa (03-11-2012), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), Gravita (03-11-2012), happy fly (24-05-2013), hotraitim (01-11-2012), hxd (11-07-2013), khucyeuthuong (01-11-2012), ladykillah96 (30-05-2014), lexuanthang (18-12-2012), nanonanato (06-11-2012), ngocthi0101 (28-12-2012), nguoibimat (01-11-2012), nliem1995 (11-11-2012), philomath (01-11-2012), tangchauphong (01-11-2012), tantaria (01-11-2012), tffloorz (05-11-2012), traipro_139 (01-11-2012), Trànvănđức (06-11-2012), Trung_Tr.Anh (06-09-2013), vinh7aa (06-08-2013) |
01-11-2012, 07:22 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Bài 2: Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1;3 \right ] $ và $x+y+2z=6 $.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=x^3+y^3+5z^3 $ __________________ |
The Following 6 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | alentist (11-11-2012), hotraitim (08-11-2012), khanhphuong28 (02-11-2012), nguoibimat (02-11-2012), philomath (01-11-2012), vinh7aa (08-08-2013) |
02-11-2012, 12:52 AM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 10 Thanks: 3 Thanked 29 Times in 8 Posts | Trích:
Ta lại có: $(x-1)(y-1) \geq 0 \Rightarrow xy \geq x+y-1 = 5-2z \Rightarrow 5-2z \le xy \le (3-z)^2$. Mặt khác ta có: $2z=6-x-y \le 4 \Rightarrow z \in[1;2]$. Ta có: $P=(x+y)[(x+y)^2-3xy]+5z^3=2(3-z)[4(3-z)^2-3xy]+5z^3$ Vì $5-2z \le xy \le (3-z)^2 \Rightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le 2(3-z)[4(3-z)^2+6z-15]+5z^3$, với $z \in[1;2]$. $\Leftrightarrow 2(3-z)^3+5z^3 \le P \le -3z^3+60z^2-150z+126$, với $z\in[1;2]$ Đặt $f(z)=2(3-z)^3+5z^3 , g(z)=-3z^3+60z^2-150z+126$. Xét hàm số $f(z), g(z)$ trên $\in[1;2]$ ta có $Min f(z)=210-60 \sqrt{10}$ tại $z=-2+ \sqrt{10} \Rightarrow x=y=5- \sqrt{10}$ và $Max g(z)=42$ tại $z=2 \Rightarrow x=y=1$. Vậy $MaxP=42$ khi $x=y=1, z=2$. $MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$. | |
The Following 11 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post: | chuthanhtiep (22-07-2013), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), High high (02-11-2012), hxd (11-07-2013), nguoibimat (02-11-2012), NguyenThanhThi (02-11-2012), taitueltv (17-09-2014), tangchauphong (02-11-2012), thaygiaocht (02-11-2012), tops2liz (14-03-2013) |
02-11-2012, 12:14 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Mình nghĩ mỗi người giải bài toán xong nếu có thêm lời bình thì sẽ rút thêm được nhiều kinh nghiệm __________________ |
The Following 3 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post: |
02-11-2012, 01:53 PM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Trích:
Trường hợp thứ nhất ta đi tìm max: Ta có $1\leq x,y\leq 3$ suy ra $x^2\leq 4x-3\Rightarrow x^3\leq 13x-12$ tương tự ta có $y^3\leq 13y-12$ Với $z$ ta xử lí như sau do $x+y+2z=6$ mà $1\leq x,y\leq 3$ nên $1\leq z\leq 2$ suy ra $z^2\leq 3z-2 \Rightarrow z^3 \leq 6z-4$ Như vậy ta sẽ có $x^3+y^3+5z^3\leq 13(x+y+2z)+9z-54\leq 13.6+9.2-54=42$ đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=2$ Trường hợp tìm min: Ta có $P\geq \frac{(x+y)^3}{4}+5z^3=\frac{(6-2z)^3}{4}+5z^3=3z^3+18z^2-54z+54$ Khảo sát hàm số $f'(z)=3z^3+18z^2-54z+54$ trên đoạn $\left [ 1;2 \right ]$ ta sẽ nhận được $MinP=210-60 \sqrt{10}$ khi $x=y=5- \sqrt{10}, z=-2+ \sqrt{10}$ Nhận xét:Thông thường với một bài toán bất đẳng thức thì điểm rơi của nó chỉ đẹp ở một chiều min,hoặc max,điểm rơi nhận được rất xấu sẽ giúp ta nảy lên ý tưởng "à!thế là bài này có thể giải bằng phương pháp đạo hàm,hàm số" Rõ ràng có rất nhiều ý tưởng để đi chứng minh một bài toán,dù là cùng phương pháp vẫn có các cách khác nhau.Mình mong mọi người cùng tham gia nhiều hơn để khoét sâu vào mảng này,giúp ta có nhiều ý tưởng hơn khi làm bài! __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 02-11-2012 lúc 10:45 PM | |
The Following 8 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | alentist (11-11-2012), Aponium (02-11-2012), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), hotraitim (03-11-2012), hxd (11-07-2013), nanonanato (06-11-2012), nguoibimat (02-11-2012) |
02-11-2012, 10:02 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$ ------------------------------ Trích:
$x^3+y^3+5z^3\leq 13(a+b+2c)+9c-54\leq 13.6+9.2-54=42$ __________________ thay đổi nội dung bởi: nguoibimat, 02-11-2012 lúc 10:17 PM Lý do: Tự động gộp bài | |
The Following 3 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post: |
02-11-2012, 11:00 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 10 Thanks: 3 Thanked 29 Times in 8 Posts | [QUOTE=nguoibimat;175820]Bài 3:Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$a^2+b^2+c^2+abc \ge 4$$ ------------------------------ Đặt $P=a^2+b^2+c^2+abc$ Từ giả thiết ta có $0 \le ab \le \dfrac{(3-c)^2}{4}$. Ta lại có $c \in[0;3]$. Ta có $P=(3-c)^2+c^2-ab(2-c)$. Với $0 \le ab \le \dfrac{(3-c)^2}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{4}(c^3-3c+18) \le P \le 2c^2-6c+9$. Đặt $f(c)=\dfrac{1}{4}(c^3-3c+18), g(c)=2c^2-6c+9$. Khảo sát hàm số $f(c)$ và $g(c)$ trên $ [0;3]$. Ta có Min$f(c)=4$ tại $c=1$, Max$g(c)=9$ tại $c=0$ hoặc $c=3$. Vậy Min$P=4$ khi $a=b=c=1.$ Max$P=9$ khi bộ $(a;b;c)$ là $(0;0;3)$ và các hoán vị. thay đổi nội dung bởi: khanhphuong28, 02-11-2012 lúc 11:02 PM |
The Following 6 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post: | .::skyscape::. (08-02-2013), congvan (15-11-2012), cool hunter (22-06-2013), nanonanato (06-11-2012), NguyenThanhThi (02-11-2012), Trànvănđức (06-11-2012) |
02-11-2012, 11:14 PM | #8 | |
Moderator Tham gia ngày: Mar 2012 Đến từ: Quảng Bình Bài gởi: 19 Thanks: 17 Thanked 15 Times in 9 Posts | Trích:
Nếu $c\ge 2$ thì $$a^2+b^2+c^2+abc \ge c^2\ge 4$$ Ngược lại, nếu $1\le c\le 2$ thì \[\begin{aligned}a^2+b^2+c^2+abc &=(a+b)^2+c^2+(c-2)ab\ge (a+b)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(a+b)^2\\ &=(3-c)^2+c^2+\dfrac{1}{4}(c-2)(3-c)^2= \dfrac{1}{4}(c-1)^2(c+2)+4\ge 4\end{aligned}\] | |
The Following 6 Users Say Thank You to Lê Đình Mẫn For This Useful Post: | congvan (16-11-2012), cool hunter (22-06-2013), kynamsp (04-05-2014), nanonanato (06-11-2012), NguyenThanhThi (02-11-2012), taitueltv (17-09-2014) |
02-11-2012, 11:21 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Mình góp ý tí nhé:Nếu có thể thì các bạn đưa ra lời nhận xét của mình sau mỗi bài mình làm về bài tập đó,phương pháp,hướng đi đó như vậy sẽ giúp các bạn đọc dễ hình dung ra hướng đi hơn mà các bạn cũng không mất nhiều thời gian cho lắm __________________ thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 03-11-2012 lúc 12:20 PM |
The Following 3 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: |
03-11-2012, 11:32 AM | #10 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Heaven Bài gởi: 579 Thanks: 10 Thanked 513 Times in 283 Posts | Ủng hộ bạn một bài. Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của: $$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$ thay đổi nội dung bởi: thephuong, 03-11-2012 lúc 12:12 PM |
The Following 5 Users Say Thank You to Snow Bell For This Useful Post: | hotraitim (08-11-2012), khanhphuong28 (03-11-2012), nguoibimat (03-11-2012), NguyenThanhThi (03-11-2012), Ng_Anh_Hoang (25-08-2013) |
03-11-2012, 02:51 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Trích:
Nếu $ab \geq 1$ thì $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{1+ab}$ Trở lại bài toán: Ta đặt $a=\frac{y}{x}$ , $b=\frac{z}{y}$ , $c=\frac{x}{z}$, suy ra $a,b,c>0$ và $abc=1$, BDT trở thành: $N=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ Do $bc=\frac{x}{y} \geq 1$ nên ta suy ra: $\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \geq \frac{2}{1+/sqrt{bc}}$ Ta tiếp tục đặt $t=\sqrt{bc}$ , theo điều kiện ban đầu đề ta suy ra $t \in [1;2]$. Từ đó bài toán trở thành việc tìm GTNN của : $N=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}$ với $t \in [1;2].$ Bằng cách xét hàm ta tìm ra $minN=\frac{34}{22}$, xảy ra khi và chỉ khi $t=2=\sqrt{bc}$ và $b=c$ tức $\frac{x}{y}=4$ và $\frac{x}{z}=\frac{z}{y}$. Kết hợp với điều kiện ban đầu bài toán ta suy ra $x=4,y=1$ và $z=2$ __________________ thay đổi nội dung bởi: nguoibimat, 03-11-2012 lúc 04:33 PM | |
The Following 3 Users Say Thank You to nguoibimat For This Useful Post: |
03-11-2012, 03:16 PM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 10 Thanks: 3 Thanked 29 Times in 8 Posts | Trích:
Biểu thức được viết lại $N= \dfrac{1}{2+3a}+ \dfrac{a}{a+b}+ \dfrac{b}{b+1}$. $ \Rightarrow N'(b)=- \dfrac{a}{(a+b)^2}+ \dfrac{1}{(b+1)^2}$. $N'(b)=0 \Rightarrow (a+b)^2-a(b+1)^2=0 \Leftrightarrow (1-a)(b^2-a)=0 \Rightarrow b= \sqrt{a}$ vì $b,a \in[ \dfrac{1}{4};1] \Rightarrow$ Min$N(b)=N( \sqrt{a})= \dfrac{1}{2+3a}- \dfrac{2}{1+ \sqrt{a}}+2$. Đặt $t= \sqrt{a} \Rightarrow t \in[ \dfrac{1}{2};1]$ Xét hàm $N(t)=\dfrac{1}{2+3t^2}- \dfrac{2}{1+t}+2$ Ta có $N'(t)=- \dfrac{6t}{(2+3t^2)^2}+ \dfrac{2}{(1+t)^2}$ $N'(t)=0 \Leftrightarrow 2(2+3t^2)^2-6t(1+t)^2=0 \Leftrightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8=0$. Vì $t \in[ \dfrac{1}{2};1] \Rightarrow 18t^4-6t^3+12t^2-6t+8>0 \Rightarrow N'(t)>0$ với mọi $t \in[ \dfrac{1}{2};1]$. $ \Rightarrow N(t) \geq N( \dfrac{1}{2})= \dfrac{34}{33}$ Vậy Min$N= \dfrac{34}{33}$ khi $t= \dfrac{1}{2}$ hay $a= \dfrac{1}{4}, b= \dfrac{1}{2}$ hay $y= \dfrac{x}{4}, z= \dfrac{x}{2} \Rightarrow x=4,y=1,z=2$. thay đổi nội dung bởi: khanhphuong28, 03-11-2012 lúc 03:30 PM | |
The Following 2 Users Say Thank You to khanhphuong28 For This Useful Post: | nanonanato (06-11-2012), NguyenThanhThi (03-11-2012) |
03-11-2012, 04:59 PM | #13 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM Bài gởi: 397 Thanks: 136 Thanked 303 Times in 150 Posts | Trích:
Bình luận cá nhân của mình thì các bài trong đây khá là khó, mình nghĩ các bạn cũng nên đưa bài khó bài dễ (là những bài phù hợp với thi ĐH) xen lẫn nhau cho thêm nhiều người hưởng ứng vì mình thấy phương pháp này khá hay và hoàn toàn phù hợp để giải những câu khó nhất trong thi ĐH. | |
The Following 2 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post: | congvan (16-11-2012), NguyenThanhThi (03-11-2012) |
03-11-2012, 05:45 PM | #14 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: Thành phố Cao Lãnh, tĩnh Đồng Tháp Bài gởi: 373 Thanks: 174 Thanked 92 Times in 69 Posts | Trích: __________________ |
03-11-2012, 08:47 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts | Bài 5: Cho $x,y\geq 1 $ thoả $3(x+y)=4xy $ . Tìm min, max của $P $: $P=x^3+y^3+3\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right ) $ __________________ |
The Following 2 Users Say Thank You to NguyenThanhThi For This Useful Post: | hotraitim (08-11-2012), nanonanato (06-11-2012) |
Bookmarks |
|
|