abc=1! - bất đẳng thức

[2424]

Với $a,b,c>0 $ tm $abc=1 $ cmr:
$ \frac{1}{a(2a^2+b}+ \frac{1}{b(2b^2+c)}+ \frac{1}{c(2c^2+a)} \geq 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vuonga2khtn]

Nguyên văn bởi 2424

Với $a,b,c>0 $ tm $abc=1 $ cmr:
$ \frac{1}{a(2a^2+b}+ \frac{1}{b(2b^2+c)}+ \frac{1}{c(2c^2+a)} \geq 1 $

Gợi ý: đặt $a=y/x ,b=z/y ,c=x/z,... $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[danghieu_dhsp]

Bạn có thể giải rõ ra được không?Thanks.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2424]

Nguyên văn bởi vuonga2khtn

Gợi ý: đặt $a=y/x ,b=z/y ,c=x/z,... $

Sau khi đặt ẩn phụ như trên,bdt cần cm được quy về bdt sau
$\frac{x^3}{2y^3+x^2z}+ \frac{y^3}{2z^3+y^2x}+ \frac{z^3}{2x^3+z^2y} \geq 1 $
áp dụng bdt Cauchy-schwarzt ta có
$VT \geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{2x^3y^3+2y^3z^3+2z^3x^3+x^5 z+y^5x+z^5y} $
Mà $x^5z+y^5x+z^5y \leq x^6+y^6+z^6 $
=>đpcm!
Một bdt tương tự nhưng khó hơn như sau
Với gt tương tự,cm
$\frac{1}{a(a^2+2b)}+ \frac{1}{b(b^2+2c)}+ \frac{1}{c(c^2+2a)} \geq 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thcong1345]

Nguyên văn bởi 2424

Sau khi đặt ẩn phụ như trên,bdt cần cm được quy về bdt sau
$\frac{x^3}{2y^3+x^2z}+ \frac{y^3}{2z^3+y^2x}+ \frac{z^3}{2x^3+z^2y} \geq 1 $
áp dụng bdt Cauchy-schwarzt ta có
$VT \geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{2x^3y^3+2y^3z^3+2z^3x^3+x^5 z+y^5x+z^5y} $
Mà $x^5z+y^5x+z^5y \leq x^6+y^6+z^6 $
=>đpcm!
Một bdt tương tự nhưng khó hơn như sau
Với gt tương tự,cm
$\frac{1}{a(a^2+2b)}+ \frac{1}{b(b^2+2c)}+ \frac{1}{c(c^2+2a)} \geq 1 $

bài toán tương tự cũng được giải khá đơn giản, vẫn bằng cách đặt a=y/z, b=z/x,c=z/x,sau đó biến đổi như bài toán ban đầu sau đó áp dụng AM-GM ta dc x^3+y^3+z^3 >= 3. điều này đúng vì với cách đặt a,b,c trên thì xyz=1
chúc vui.reamer:reamer:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2424]

Nguyên văn bởi thcong1345

bài toán tương tự cũng được giải khá đơn giản, vẫn bằng cách đặt a=y/z, b=z/x,c=z/x,sau đó biến đổi như bài toán ban đầu sau đó áp dụng AM-GM ta dc x^3+y^3+z^3 >= 3. điều này đúng vì với cách đặt a,b,c trên thì xyz=1
chúc vui.reamer:reamer:

Mình cảm thấy có lẽ bạn đã gặp nhầm lẫn trong quá trình giải bài.Bạn thử post lời giải cua bạn nên xem nào!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanhkhtn]

Nguyên văn bởi 2424

Với gt tương tự,cm
$\frac{1}{a(a^2+2b)}+ \frac{1}{b(b^2+2c)}+ \frac{1}{c(c^2+2a)} \geq 1 $

tôi nghĩ bạn đã mở rộng một kết quả của anh cẩn trên toán tuổi trẻ
tôi đã tìm ra nó cách đây vài tháng.nhưng hiện vẫn chưa có lời giải cho nó
nếu có ai làm được hãy vui lòng post lên nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2424]

Nguyên văn bởi khanhkhtn

tôi nghĩ bạn đã mở rộng một kết quả của anh cẩn trên toán tuổi trẻ
tôi đã tìm ra nó cách đây vài tháng.nhưng hiện vẫn chưa có lời giải cho nó
nếu có ai làm được hãy vui lòng post lên nhé

Trùng hợp vậy sao?Hay nhỉ?Nếu chưa làm được thì bạn có thể xem lời giải sau của mình!
Chẳng có gì mà mở rộng cái bài trên thtt của anh Cẩn đâu bạn của tôi ạ!
Đặt $a= \frac{y}{x}, b= \frac{z}{y}, c= \frac{x}{z} (x,y,z >0) $
bdt cần cm được đưa về bdt sau
$\frac{x^4}{xy^3+2x^3z}+ \frac{y^4}{yz^3+2y^3x}+ \frac{z^4}{zx^3+2z^3y} \geq 1 $
Áp dụng bdt Cauchy-schwarzt ta có
$VT \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy^3+yz^3+zx^3)} \geq 1 $
=> Đpcm!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2424]

Nguyên văn bởi khanhkhtn

tôi nghĩ bạn đã mở rộng một kết quả của anh cẩn trên toán tuổi trẻ
tôi đã tìm ra nó cách đây vài tháng.nhưng hiện vẫn chưa có lời giải cho nó
nếu có ai làm được hãy vui lòng post lên nhé

Bài mở rộng bdt của anh Cẩn trên thtt đây này gaKhánh!
Cho $a,b,c>0 $ tm $abc=1 $
cmr bdt sau đúng với $k=1,2,3,4 $
$\frac{a}{b^k+2}+ \frac{b}{c^k+2}+ \frac{c}{a^k+2} \geq 1 $
Bài toán mở:Tìm tất cả các gt của k để bdt trên đúng với mọi $a,b,c>0 $ tm $abc=1 $!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Nguyên văn bởi 2424

Bài mở rộng bdt của anh Cẩn trên thtt đây này gaKhánh!
Cho $a,b,c>0 $ tm $abc=1 $
cmr bdt sau đúng với $k=1,2,3,4 $
$\frac{a}{b^k+2}+ \frac{b}{c^k+2}+ \frac{c}{a^k+2} \geq 1 $
Bài toán mở:Tìm tất cả các gt của k để bdt trên đúng với mọi $a,b,c>0 $ tm $abc=1 $!

Với k=4 thì đây là bài toán của "cậu bé quàng khăn đỏ" trên MnF hồi trước.Các lời giải mà mình biết đều khá...trâu bò.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]