Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 24-07-2013, 12:56 AM   #1
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
[IMO 2013] Bài 1 - Số học

Chứng minh rằng với hai số nguyên dương $k,n$ bất kì, tồn tại các số nguyên dương $m_1,m_2,\ldots,m_k$ sao cho
$$ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \dots \left(1+\frac{1}{m_k}\right). $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
dangvip123tb (02-03-2014), dvtruc (24-07-2013), n.v.thanh (24-07-2013), pco (24-07-2013), quocbaoct10 (24-07-2013), thiendieu96 (28-02-2014)
Old 24-07-2013, 03:50 AM   #2
hungvu
+Thành Viên+
 
hungvu's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Đến từ: Đồng Phúc - Yên Dũng - Bắc Giang
Bài gởi: 6
Thanks: 12
Thanked 2 Times in 1 Post
Có thể chứng minh bài này bằng quy nạp theo k
Với k=1 thì chọn $m_1$ = n
Với k=2 thì đưa về phương trình nghiệm nguyên $3. m_1.m_2 = n(m_1+m_2 +1) $
$\Leftrightarrow (3.m_1- n)(3.m_2-n) = n(n+3)$
Nếu $n\vdots 3 $ thì chọn $m_1 = 2n/3, m_2=(2n+3)/3$
Nếu $n \equiv 1\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+2)/3$
Nếu $n \equiv 2\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+1)/3$
Quy nạp giả sử đúng đến k ta sẽ chứng minh đúng đến k+1
Thật vậy theo giả thiết qui nạp với mọi $m \in N$ thì tồn tại các sô $m_1,m_2,...m_k$ sao cho $\prod (1+\frac{1}{m_i}) = 1 + \frac{2^k-1}{m}$
Cần tìm $t \in N^*$ sao cho
$ \frac{t+1}{t} = \frac{2^{k+1}n-1}{n}.\frac{m}{2^{k}+m-1}$ với k,n cho trước.
Biến đổi ta được
$(2^k-1)n(t+1)=m(2^{k+1}t-t-n)$
Với n lẻ chọn t=n và $m=\frac{n+1}{2}$
Với n chẵn chọn $t=n+2(2^k-1), m=\frac{n}{2}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Người đàn ông giống những con số. Họ chỉ đạt được giá trị của họ bằng vị trí của họ
hungvu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to hungvu For This Useful Post:
dangvip123tb (02-03-2014), ducanh_pr (28-07-2013)
Old 24-07-2013, 08:36 AM   #3
RAIZA
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Đến từ: Storm monarch's
Bài gởi: 144
Thanks: 77
Thanked 65 Times in 50 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hungvu View Post
Có thể chứng minh bài này bằng quy nạp theo k
Với k=1 thì chọn $m_1$ = n
Với k=2 thì đưa về phương trình nghiệm nguyên $3. m_1.m_2 = n(m_1+m_2 +1) $
$\Leftrightarrow (3.m_1- n)(3.m_2-n) = n(n+3)$
Nếu $n\vdots 3 $ thì chọn $m_1 = 2n/3, m_2=(2n+3)/3$
Nếu $n \equiv 1\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+2)/3$
Nếu $n \equiv 2\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+1)/3$
Quy nạp giả sử đúng đến k ta sẽ chứng minh đúng đến k+1
Thật vậy theo giả thiết qui nạp với mọi $m \in N$ thì tồn tại các sô $m_1,m_2,...m_k$ sao cho $\prod (1+\frac{1}{m_i}) = 1 + \frac{2^k-1}{m}$
Cần tìm $t \in N^*$ sao cho
$ \frac{t+1}{t} = \frac{2^{k+1}n-1}{n}.\frac{m}{2^{k}+m-1}$ với k,n cho trước.
Biến đổi ta được
$(2^k-1)n(t+1)=m(2^{k+1}t-t-n)$
Với n lẻ chọn t=n và $m=\frac{n+1}{2}$
Với n chẵn chọn $t=n+2(2^k-1), m=\frac{n}{2}$
Bước chứng minh quy nạp của bạn chưa đúng. Nếu muốn quy nạp theo $k $ ta cần phải chứng minh: Với mỗi giá trị của số nguyên dương $k $ thì với số nguyên dương $m $ bất kì luôn tồn tại bộ số $(m_{1},m_{2},...,m_{k}) $ thỏa mãn đẳng thức ở đề bài. Trong bước chứng minh quy nạp, bạn đã chọn $m $ theo $n $ , tức là mới chỉ chứng minh được một phần của bước này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thượng đế có một cuốn sách chứa tất cả những lời giải ngắn nhất và hay nhất của mọi bài toán-P.Erdos
RAIZA is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-07-2013, 09:56 AM   #4
hungvu
+Thành Viên+
 
hungvu's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Đến từ: Đồng Phúc - Yên Dũng - Bắc Giang
Bài gởi: 6
Thanks: 12
Thanked 2 Times in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi RAIZA View Post
Bước chứng minh quy nạp của bạn chưa đúng. Nếu muốn quy nạp theo $k $ ta cần phải chứng minh: Với mỗi giá trị của số nguyên dương $k $ thì với số nguyên dương $m $ bất kì luôn tồn tại bộ số $(m_{1},m_{2},...,m_{k}) $ thỏa mãn đẳng thức ở đề bài. Trong bước chứng minh quy nạp, bạn đã chọn $m $ theo $n $ , tức là mới chỉ chứng minh được một phần của bước này.
Mình nghĩ là không thiếu đâu bạn, giả thiết quy nạp của mình đến k là với mỗi m thì tồn tại bộ $(m_{1},m_{2},...,m_{k}) $ thỏa mãn đề bài, với k+1 thì với mỗi $n \in N $ ta tìm được số $m_{k+1} $ chính là t còn cái số $(m_{1},m_{2},...,m_{k}) $ xác định theo m
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Người đàn ông giống những con số. Họ chỉ đạt được giá trị của họ bằng vị trí của họ
hungvu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-07-2013, 11:31 AM   #5
A Good Man
+Thành Viên+
 
A Good Man's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2011
Đến từ: Mù Cang Chải
Bài gởi: 33
Thanks: 34
Thanked 11 Times in 4 Posts
Tương đương với $ \frac{n+2^k-1}{n}=\left(\frac{1+m_1}{m_1}\right)\left(\frac{1+ m_2}{m_2}\right)\dots\left(\frac{1+m_k}{m_k}\right ). $
Ta sẽ tìm $ m_1, m_2,\ldots, m_k $ sao cho $\frac{1+m_1}{m_1}= \frac{x_1}{x_0} , \frac{1+m_2}{m_2}=\frac{x_2}{x_1},...,\frac{1+m_k} {m_k}=\frac{x_k}{x_{k-1}} $ trong đó $x_0=n$ và $x_k=n+2^k-1$
Ta sẽ xây dựng dãy ${x_i}$ như sau. $ x_0=n , x_{i+1}- x_i = 2^{j_i} $ với $j=0,1,...,k-1$ và mỗi j sẽ chỉ xuất hiện trong một hiệu. Khi đó $x_k=n+2^k-1$
Bây giờ để $m_i$ nguyên dương thì $x_i$ chia hết cho $x_{i+1}-x_i$ hay $x_i$ chia hết cho $2^{j_i}$
Bây giờ từ $x_1$ ta chọn $j_i =v_2(x_i) $ khi đó ta có $v_2(x_i)$ tăng, đến khi $v_2(x_i) \ge k-1$ thì đến đó ta cho $j_i$ còn lại nhận các giá trị còn lại trong $1,2,...,k-1$ theo thứ tự giảm dần như vậy vẫn đảm bảo $x_i$ chia hết cho $2^{j_i}$
Do đó ta luôn xây dựng được dãy $x_i$ hay luôn tìm được dãy $m_i$

Có ai hiểu mình viết cái gì không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: A Good Man, 24-07-2013 lúc 11:46 AM
A Good Man is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-07-2013, 11:53 AM   #6
quocbaoct10
+Thành Viên Danh Dự+
 
quocbaoct10's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Đến từ: THPT chuyên Lê Quý Đôn-Nha Trang-Khánh Hòa
Bài gởi: 539
Thanks: 292
Thanked 364 Times in 217 Posts
Em nghĩ bài này còn một cách xây dựng khác:
Từ hệ thức đầu bài, ta được: $1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \dots \left(1+\frac{1}{m_k}\right)$. Vì vế trái nguyên nên vế phải cũng nguyên, suy ra $n$ chia hết cho $m_i$, hay nói cách khác, $m_i$ là các ước của n và $m_{1}.m_{2}...m_{k}.i=n$. Nếu n nguyên tố thì dễ thấy $k=1$ và luôn tồn tại $m=n$ thỏa. Sau đó chứng minh quy nạp với n có 2 ước, 3 ước nguyên tố,...k ước nguyên tố. Cơ mà em vẫn chưa tìm ra cách để xây dựng cho phù hợp với bài giải, mọi người giúp em ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
i'll try my best.

thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 24-07-2013 lúc 05:06 PM
quocbaoct10 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-07-2013, 05:03 PM   #7
nguyenta98
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: THPT chuyên KHTN
Bài gởi: 53
Thanks: 7
Thanked 42 Times in 26 Posts
Ý tưởng chung là quy nạp và rất giống như IMO 2012
Các bạn hãy cm hai nhận xét sau đây, khi đó bài toán sẽ dễ dàng được giải
NX1: $(i,k-1)$ đúng thì $(2i,k)$ đúng với $i\geq 1$
NX2: $(i+1,k-1)$ đúng thì $(2i+1,k)$ đúng với $i\geq 1$
Cm hai nhận xét này khá đơn giản, từ đó bài toán được giải xong bằng quy nạp mạnh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: nguyenta98, 24-07-2013 lúc 05:42 PM
nguyenta98 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-07-2013, 03:50 PM   #8
caubemetoan96
+Thành Viên+
 
caubemetoan96's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Đến từ: CQT- BP
Bài gởi: 225
Thanks: 141
Thanked 74 Times in 56 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi quocbaoct10 View Post
Em nghĩ bài này còn một cách xây dựng khác:
Từ hệ thức đầu bài, ta được: $1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right) \left(1+\frac{1}{m_2}\right) \dots \left(1+\frac{1}{m_k}\right)$. Vì vế trái nguyên nên vế phải cũng nguyên, suy ra $n$ chia hết cho $m_i$, hay nói cách khác, $m_i$ là các ước của n
Không suy ra được $m_i $ là các ước của $n $ đâu em. Viết ra là thấy à.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Thieu Hong Thai
caubemetoan96 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:37 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 69.90 k/79.86 k (12.48%)]