|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
10-01-2013, 08:37 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | [VMO 2013] Bài 2 - Dãy số thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2013 lúc 06:26 PM |
The Following 7 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: | chemmath (11-01-2013), kimlinh (11-01-2013), MK.Duy (11-01-2013), Raul Chavez (14-01-2013), thaygiaocht (11-01-2013), TNP (11-01-2013), Trànvănđức (11-01-2013) |
11-01-2013, 11:33 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: CLA Bài gởi: 538 Thanks: 183 Thanked 136 Times in 63 Posts | Cho dãy số xác định như sau: $$\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}=1 \\ & {{a}_{n+1}}=3-\frac{{{a}_{n}}+2}{{{2}^{{{a}_{n}}}}} \\ \end{align} \right.,\forall n\ge 1$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó __________________ Sẽ không quên nỗi đau này..! |
The Following 8 Users Say Thank You to High high For This Useful Post: | chemmath (11-01-2013), Fool's theorem (11-01-2013), hongduc_cqt (11-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), nliem1995 (11-01-2013), nqt (11-01-2013), TNP (11-01-2013), trungthu10t (11-01-2013) |
11-01-2013, 11:58 AM | #3 | |
Administrator | Trích:
Trước hết, bằng quy nạp, ta chứng minh $1 < a_n < 2$ với mọi $n > 1$. (*) Thật vậy, - Với $n=2$, ta có $u_2 = \frac{3}{2}$ nên (*) đúng. - Giả sử (*) đúng với $n=k > 1$, tức là $1 < a_k < 2$, ta cần có $1 < 3 - \frac{a_k+2}{2^{a_k}} < 2$ hay $\frac{a_k+2}{2} < 2^{a_k} < a_k+2$, đúng (do các hàm số $2^x - (x+2)$ và $2^x - \frac{x+2}{2}$ đều đồng biến trên $(1;2)$). Do đó, (*) đúng với mọi $n$. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $(u_n)$ là dãy tăng. Xét hàm số $f(x)=3-\frac{2+x}{2^x}, 1<x<2$. Ta có $f'(x)=\frac{\ln 4+ x \ln2 - 1}{2^x} > 0$ nên hàm này đồng biến trên $(1;2)$. Ta cũng có $a_2 = \frac{3}{2} > a_1$ nên dãy tăng. Do đó, dãy $a_n$ đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn. Giả sử giới hạn đó là $L \in (1;2]$, ta có $L = 3 - \frac{L+2}{2^L}$. Ta sẽ chứng minh phương trình này có nghiệm duy nhất trên $(1;2]$. Thật vậy, xét hàm số $g(x) = 3 - \frac{x+2}{2^x} - x, x \in (1;2]$ thì $g'(x) = \frac{\ln 4+ x \ln2 - 1}{2^x} - 1 = \frac{\ln 4+ x \ln2 - 1-2^x}{2^x}$. Ta xét tiếp hàm số $h(x) = \ln 4+ x \ln2 - 1-2^x, x \in (1;2]$ thì $h'(x) = \ln 2 (1-2^x) < 0, x \in (1;2]$ nên đây là hàm nghịch biến. Suy ra $h(x) < h(1) = \ln 4 + \ln 2 - 3 = \ln 8 - 3 < 0$ do $e > 2$ hay $\ln 4+ x \ln2 - 1-2^x < 0$ với $x \in (1;2]$. Do đó, hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(1;2]$ và phương trình $g(x) = 0$ có không quá một nghiệm. Hơn nữa $g(2)=0$ nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy dãy số đã cho có giới hạn là 2. Nhận xét. Bài này có dạng giới hạn quen thuộc là $a_{n+1}=f(a_n)$, trong đó $f(x)$ là hàm đồng biến trên miền giá trị của dãy số. Tuy đòi hỏi một số đánh giá trung gian nhưng hướng giải rất rõ ràng. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 11-01-2013 lúc 01:32 PM | |
The Following 22 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | bboy114crew (11-01-2013), boykhtna1 (14-01-2013), chemmath (11-01-2013), hieu1411997 (11-01-2013), High high (11-01-2013), hongson_vip (11-01-2013), innocent (11-01-2013), Ispectorgadget (12-01-2013), kimlinh (11-01-2013), manhnguyen94 (11-01-2013), mrcool (11-01-2013), Mr_Pi (12-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), nliem1995 (11-01-2013), ntuan5 (11-01-2013), tangchauphong (11-01-2013), tffloorz (11-01-2013), TKT (11-01-2013), TNP (11-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013), trungthu10t (11-01-2013), tsunajudaime (11-01-2013) |
11-01-2013, 01:18 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Đến từ: Yên Bái Bài gởi: 2 Thanks: 4 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
__________________ Keep on going forward because I'll never go back. Chai yo me ^^ | |
The Following User Says Thank You to starfish74 For This Useful Post: | PDlong (11-01-2013) |
11-01-2013, 01:28 PM | #5 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Ta có $-1+\ln4+\ln2x>0$ (do $x\in(1;2]$), suy ra $g'(x) = -\frac{-1+\ln4+\ln2x}{2^x}-1 < 0, \, \forall x \in (1;2]$. __________________ M. |
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post: | bboy114crew (11-01-2013) |
11-01-2013, 01:29 PM | #6 |
Administrator | Đúng là phải xét thêm một hàm nữa để mọi chuyện rõ ràng hơn. Mình đã sửa lại ở trên rồi đấy. __________________ Sự im lặng của bầy mèo |
11-01-2013, 03:42 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Bài gởi: 39 Thanks: 89 Thanked 5 Times in 5 Posts | Cho mình hỏi. chỉ chứng minh $a_n$ bị chặn trên bởi 3 được không |
11-01-2013, 04:07 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | + Tính vài giá trị đầu của dãy thấy dãy tăng. + Đặt $f(x)=3-\frac{x+2}{2^x} $ ta có $a_{n+1}=f(a_n) $ với $n \ge 1 $. + Đặt $g(x)=2^x(3-x)-x-2 $. + Xét $f(x) $ trên $\left(\frac{8}{5};2\right) $ ta có $f'(x)=\frac{\ln 2(x+2)-1}{2^x}>0 $ với mọi $x \in \left(\frac{8}{5};2\right). $ + Từ đó $\frac{8}{5}<a_n < 2 $ với mọi $n \ge 4. $ + Xét $g(x) $ trên $\left(\frac{8}{5};2\right) $ ta có $g'(x)=2^x[\ln 2(3-x)-1]-1<0 $ với mọi $x \in \left(\frac{8}{5};2\right). $ Từ đó $g(x)>0 $ trên $\left(\frac{8}{5};2\right). $ Suy ra $a_{n+1}>a_n $ với $n \ge 5 $. + Dãy tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn hữu hạn $L $ với $L \in \left[\frac{8}{5};2\right] $. + Tương tự ở trên, phương trình $g(L)=0 $ trên $\left[\frac{8}{5};2\right] $ có nghiệm duy nhất $L=2 $. + Đáp số: Giới hạn cần tìm bằng 2. |
The Following 2 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post: | Mr_Pi (12-01-2013), Raul Chavez (14-01-2013) |
11-01-2013, 04:15 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 126 Thanks: 98 Thanked 31 Times in 22 Posts | Bài này mỗi người có một kiểu đánh giá nhưng hướng chung là chứng minh dãy tăng và bị chặn. Đánh giá càng chặt thì càng dễ chứng minh. Mình đánh giá còn quá "lỏng" nên việc chứng minh hơi dài dòng và có phần thiếu tự nhiên. Ví dụ như $ln2 \le \frac{3}{4} $ hay $3.ln2.2^{\frac{1}{ln2}-2} \ge 1 $ |
The Following User Says Thank You to innocent For This Useful Post: | 5434 (11-01-2013) |
11-01-2013, 07:26 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 303 Thanks: 129 Thanked 130 Times in 81 Posts | Em thấy đến đoạn $L=3-\frac{L+2}{2^{L}} $ không cần đạo hàm $\Leftrightarrow L.2^{L}=3.2^{L}-L-2 $ $\Leftrightarrow 2^{L}(3-L)=L+2 $ Đến đây giả sử $L>2 $ và $L<2 $ không thỏa mãn nên $L=2 $ Với cả $u_{n}<3 $ là đủ rồi mà __________________ |
11-01-2013, 07:27 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Đến từ: no*i ty bă't đâ'u Bài gởi: 695 Thanks: 121 Thanked 335 Times in 214 Posts | Như mềnh __________________ |
The Following User Says Thank You to 5434 For This Useful Post: | Trànvănđức (12-01-2013) |
11-01-2013, 10:05 PM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 127 Thanks: 87 Thanked 35 Times in 22 Posts | Anh Lữ xem dùm cách làm này của em có được không anh *Trước tiên chứng minh $a_n>1$ với mọi $n>1$ (A) theo quy nạp: với $n=2$ ta thấy $a_2=\frac{3}{2}>1$ giả sử đã có $a_n>1(n>1)$, theo Bernulli có: $ 2^{a_n} > 2.a_n+1-a_n=a_n+1$ ($a_n>1$) suy ra $a_{n+1}>3-\frac{a_n+2}{a_n+1}=3-1-\frac{1}{a_n+1}=2-\frac{1}{a_n+1}>1$ với mọi $a_n>1$, (A) được chứng minh *Chứng minh $(a_n)$ là dãy tăng Xét $f(x)=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}} \forall x>1$ $f'(x)=\frac{2^{x}.(xln2+2ln2-1)}{(2^{x})^{2}}>0 \forall x>1$ ( do $e>2$) Mặt khác $a_2>a_1$ suy ra $(a_n)$ là dãy tăng *Chứng minh $(a_n)$ bị chặn trên bởi $2$ với $n=2$ ta thấy $a_n=\frac{3}{2}<2$ giả sử đã có $a_n<2 \forall n>1$ xét $f(x)=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}$ , lập bảng biến thiên suy ra $\frac{3}{2}<f(x)<2 \forall 1<x<2$, tới đây suy ra $a_{n+1}=f(a_n)<2 \forall 1<a_n<2$ suy ra $(a_n)$ bị chặn trên bởi $2$ $(a_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ, đặt $lima_n=b$, chuyển về giới hạn ta có: $b=3-\frac{b+2}{2^{b}}$ (1) Xét $g(b)=b-3+\frac{b+2}{2^{b}} \forall 1<b<2$, pt(1) viết dưới dạng $g(b)=0$ $g'(b)=1+\frac{2^{b}.(1-(b+2)ln2}{(2^{b})^{2}}=\frac{2^{b}+1-(b+2)ln2}{2^{b}} > \frac{b+1+1-(b+2)ln2}{2^{b}}=\frac{(b+2)(1-ln2)}{2^{b}}>0 \forall 1<b<2$($2^{b}>b+1$ theo bernulli) suy ra $g$ là hàm tăng, suy ra pt $g(b)=0$ có nhiều nhất một nghiệm, mặt khác ta thấy $b=2$ thỏa nên $b=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g(b)=0$ Vậy $lima_n=2$ p/s:gõ latex xong mờ hết cả mắt __________________ Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai VMO 2014- Đợi mình nhé thay đổi nội dung bởi: nguoi_vn1, 11-01-2013 lúc 10:48 PM |
The Following User Says Thank You to nguoi_vn1 For This Useful Post: | huynhcongbang (14-01-2013) |
11-01-2013, 10:56 PM | #14 |
Moderator Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: LTVer Bài gởi: 616 Thanks: 161 Thanked 234 Times in 157 Posts | Theo mình, thì bài toán này thuộc dạng bài quen thuộc cho bởi $a_{n+1}=f(a_n) $, dạng này được thầy Dũng giới thiệu khá chi tiết trong cuốn sách Tài liệu giáo khoa chuyên Toán phần Giải tích lớp 11. @ nguoi_vn1: Cũng với cái "kịch bản" mà thầy Dũng nêu ra, thì sau khi chứng minh được $f(x)>0 $ và $a_2>a_1 $, thì việc chứng minh $a_n>1 $ là không cần thiết nữa. |
11-01-2013, 11:50 PM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 127 Thanks: 87 Thanked 35 Times in 22 Posts | $f'(x)$ có chứa $xln2$ đó anh, cm $a_n>1$ trước để cm $f'(x)>0$, thực ra ban đầu e cm $a_n>0$ nhưng về sau làm chặt lại nên lớn hơn 1 __________________ Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai VMO 2014- Đợi mình nhé |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|