Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 10-01-2013, 08:37 PM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
[VMO 2013] Bài 2 - Dãy số


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2013 lúc 06:26 PM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
chemmath (11-01-2013), kimlinh (11-01-2013), MK.Duy (11-01-2013), Raul Chavez (14-01-2013), thaygiaocht (11-01-2013), TNP (11-01-2013), Trànvănđức (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 11:33 AM   #2
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=1 \\
& {{a}_{n+1}}=3-\frac{{{a}_{n}}+2}{{{2}^{{{a}_{n}}}}} \\
\end{align} \right.,\forall n\ge 1$$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to High high For This Useful Post:
chemmath (11-01-2013), Fool's theorem (11-01-2013), hongduc_cqt (11-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), nliem1995 (11-01-2013), nqt (11-01-2013), TNP (11-01-2013), trungthu10t (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 11:58 AM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=1 \\
& {{a}_{n+1}}=3-\frac{{{a}_{n}}+2}{{{2}^{{{a}_{n}}}}} \\
\end{align} \right.,\forall n\ge 1$$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài này mình giải như sau.
Trước hết, bằng quy nạp, ta chứng minh $1 < a_n < 2$ với mọi $n > 1$. (*)
Thật vậy,
- Với $n=2$, ta có $u_2 = \frac{3}{2}$ nên (*) đúng.
- Giả sử (*) đúng với $n=k > 1$, tức là $1 < a_k < 2$, ta cần có
$1 < 3 - \frac{a_k+2}{2^{a_k}} < 2$ hay $\frac{a_k+2}{2} < 2^{a_k} < a_k+2$, đúng (do các hàm số $2^x - (x+2)$ và $2^x - \frac{x+2}{2}$ đều đồng biến trên $(1;2)$).
Do đó, (*) đúng với mọi $n$.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh $(u_n)$ là dãy tăng.
Xét hàm số $f(x)=3-\frac{2+x}{2^x}, 1<x<2$.
Ta có $f'(x)=\frac{\ln 4+ x \ln2 - 1}{2^x} > 0$ nên hàm này đồng biến trên $(1;2)$.
Ta cũng có $a_2 = \frac{3}{2} > a_1$ nên dãy tăng.
Do đó, dãy $a_n$ đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn.

Giả sử giới hạn đó là $L \in (1;2]$, ta có $L = 3 - \frac{L+2}{2^L}$.
Ta sẽ chứng minh phương trình này có nghiệm duy nhất trên $(1;2]$.

Thật vậy, xét hàm số $g(x) = 3 - \frac{x+2}{2^x} - x, x \in (1;2]$ thì
$g'(x) = \frac{\ln 4+ x \ln2 - 1}{2^x} - 1 = \frac{\ln 4+ x \ln2 - 1-2^x}{2^x}$.
Ta xét tiếp hàm số $h(x) = \ln 4+ x \ln2 - 1-2^x, x \in (1;2]$ thì $h'(x) = \ln 2 (1-2^x) < 0, x \in (1;2]$ nên đây là hàm nghịch biến.
Suy ra $h(x) < h(1) = \ln 4 + \ln 2 - 3 = \ln 8 - 3 < 0$ do $e > 2$ hay $\ln 4+ x \ln2 - 1-2^x < 0$ với $x \in (1;2]$.
Do đó, hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(1;2]$ và phương trình $g(x) = 0$ có không quá một nghiệm.

Hơn nữa $g(2)=0$ nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy dãy số đã cho có giới hạn là 2.

Nhận xét. Bài này có dạng giới hạn quen thuộc là $a_{n+1}=f(a_n)$, trong đó $f(x)$ là hàm đồng biến trên miền giá trị của dãy số. Tuy đòi hỏi một số đánh giá trung gian nhưng hướng giải rất rõ ràng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 11-01-2013 lúc 01:32 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 22 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
bboy114crew (11-01-2013), boykhtna1 (14-01-2013), chemmath (11-01-2013), hieu1411997 (11-01-2013), High high (11-01-2013), hongson_vip (11-01-2013), innocent (11-01-2013), Ispectorgadget (12-01-2013), kimlinh (11-01-2013), manhnguyen94 (11-01-2013), mrcool (11-01-2013), Mr_Pi (12-01-2013), n.v.thanh (11-01-2013), nliem1995 (11-01-2013), ntuan5 (11-01-2013), tangchauphong (11-01-2013), tffloorz (11-01-2013), TKT (11-01-2013), TNP (11-01-2013), triethuynhmath (11-01-2013), trungthu10t (11-01-2013), tsunajudaime (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 01:18 PM   #4
starfish74
+Thành Viên+
 
starfish74's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Đến từ: Yên Bái
Bài gởi: 2
Thanks: 4
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post

Thật vậy, xét hàm số $g(x) = 3 - \frac{x+2}{2^x} - x, x \in (1;2]$ thì
$g'(x) = -\frac{-1+ln 4+ \ln2 x}{2^x} - 1 < 0, x \in (1;2] $
nên hàm này nghịch biến.

Do đó, phương trình $g(x) = 0$ có không quá một nghiệm. Hơn nữa $g(2)=0$ nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy dãy số đã cho có giới hạn là 2.

Nhận xét. Bài này có dạng giới hạn quen thuộc là $a_{n+1}=f(a_n)$, trong đó $f(x)$ là hàm đồng biến trên miền giá trị của dãy số. Tuy đòi hỏi một số đánh giá trung gian nhưng hướng giải rất rõ ràng.
Không có máy tính làm sao bạn chứng minh được g' < 0?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Keep on going forward because I'll never go back. Chai yo me ^^

starfish74 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to starfish74 For This Useful Post:
PDlong (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 01:28 PM   #5
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi starfish74 View Post
Không có máy tính làm sao bạn chứng minh được g' < 0?
Ta có $-1+\ln4+\ln2x>0$ (do $x\in(1;2]$), suy ra $g'(x) = -\frac{-1+\ln4+\ln2x}{2^x}-1 < 0, \, \forall x \in (1;2]$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
bboy114crew (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 01:29 PM   #6
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi starfish74 View Post
Không có máy tính làm sao bạn chứng minh được g' < 0?
Đúng là phải xét thêm một hàm nữa để mọi chuyện rõ ràng hơn. Mình đã sửa lại ở trên rồi đấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2013, 03:42 PM   #7
bb.boy_lion
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 39
Thanks: 89
Thanked 5 Times in 5 Posts
Cho mình hỏi. chỉ chứng minh $a_n$ bị chặn trên bởi 3 được không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
bb.boy_lion is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2013, 04:01 PM   #8
innocent
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 126
Thanks: 98
Thanked 31 Times in 22 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi bb.boy_lion View Post
Cho mình hỏi. chỉ chứng minh $a_n$ bị chặn trên bởi 3 được không
Chứng minh bị chặn dưới mới suy ra được dãy tăng chứ bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
innocent is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to innocent For This Useful Post:
nguoi_vn1 (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 04:07 PM   #9
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 165
Thanks: 793
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
+ Tính vài giá trị đầu của dãy thấy dãy tăng.
+ Đặt $f(x)=3-\frac{x+2}{2^x} $ ta có $a_{n+1}=f(a_n) $ với $n \ge 1 $.
+ Đặt $g(x)=2^x(3-x)-x-2 $.

+ Xét $f(x) $ trên $\left(\frac{8}{5};2\right) $ ta có $f'(x)=\frac{\ln 2(x+2)-1}{2^x}>0 $ với mọi $x \in \left(\frac{8}{5};2\right). $
+ Từ đó $\frac{8}{5}<a_n < 2 $ với mọi $n \ge 4. $
+ Xét $g(x) $ trên $\left(\frac{8}{5};2\right) $ ta có $g'(x)=2^x[\ln 2(3-x)-1]-1<0 $ với mọi $x \in \left(\frac{8}{5};2\right). $
Từ đó $g(x)>0 $ trên $\left(\frac{8}{5};2\right). $
Suy ra $a_{n+1}>a_n $ với $n \ge 5 $.
+ Dãy tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn hữu hạn $L $ với $L \in \left[\frac{8}{5};2\right] $.
+ Tương tự ở trên, phương trình $g(L)=0 $ trên $\left[\frac{8}{5};2\right] $ có nghiệm duy nhất $L=2 $.
+ Đáp số: Giới hạn cần tìm bằng 2.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
Mr_Pi (12-01-2013), Raul Chavez (14-01-2013)
Old 11-01-2013, 04:15 PM   #10
innocent
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 126
Thanks: 98
Thanked 31 Times in 22 Posts
Bài này mỗi người có một kiểu đánh giá nhưng hướng chung là chứng minh dãy tăng và bị chặn. Đánh giá càng chặt thì càng dễ chứng minh. Mình đánh giá còn quá "lỏng" nên việc chứng minh hơi dài dòng và có phần thiếu tự nhiên. Ví dụ như $ln2 \le \frac{3}{4} $ hay $3.ln2.2^{\frac{1}{ln2}-2} \ge 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
innocent is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to innocent For This Useful Post:
5434 (11-01-2013)
Old 11-01-2013, 07:26 PM   #11
vjpd3pz41iuai
+Thành Viên+
 
vjpd3pz41iuai's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 303
Thanks: 129
Thanked 130 Times in 81 Posts
Em thấy đến đoạn $L=3-\frac{L+2}{2^{L}} $ không cần đạo hàm
$\Leftrightarrow L.2^{L}=3.2^{L}-L-2 $
$\Leftrightarrow 2^{L}(3-L)=L+2 $
Đến đây giả sử $L>2 $ và $L<2 $ không thỏa mãn nên $L=2 $
Với cả $u_{n}<3 $ là đủ rồi mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
vjpd3pz41iuai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2013, 07:27 PM   #12
5434
+Thành Viên+
 
5434's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Đến từ: no*i ty bă't đâ'u
Bài gởi: 695
Thanks: 121
Thanked 335 Times in 214 Posts
Như mềnh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

5434 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to 5434 For This Useful Post:
Trànvănđức (12-01-2013)
Old 11-01-2013, 10:05 PM   #13
nguoi_vn1
+Thành Viên+
 
nguoi_vn1's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 127
Thanks: 87
Thanked 35 Times in 22 Posts
Anh Lữ xem dùm cách làm này của em có được không anh
*Trước tiên chứng minh $a_n>1$ với mọi $n>1$ (A) theo quy nạp:
với $n=2$ ta thấy $a_2=\frac{3}{2}>1$
giả sử đã có $a_n>1(n>1)$, theo Bernulli có: $ 2^{a_n} > 2.a_n+1-a_n=a_n+1$ ($a_n>1$)
suy ra $a_{n+1}>3-\frac{a_n+2}{a_n+1}=3-1-\frac{1}{a_n+1}=2-\frac{1}{a_n+1}>1$ với mọi $a_n>1$, (A) được chứng minh
*Chứng minh $(a_n)$ là dãy tăng
Xét $f(x)=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}} \forall x>1$
$f'(x)=\frac{2^{x}.(xln2+2ln2-1)}{(2^{x})^{2}}>0 \forall x>1$ ( do $e>2$)
Mặt khác $a_2>a_1$ suy ra $(a_n)$ là dãy tăng
*Chứng minh $(a_n)$ bị chặn trên bởi $2$
với $n=2$ ta thấy $a_n=\frac{3}{2}<2$
giả sử đã có $a_n<2 \forall n>1$
xét $f(x)=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}$ , lập bảng biến thiên suy ra $\frac{3}{2}<f(x)<2 \forall 1<x<2$, tới đây suy ra $a_{n+1}=f(a_n)<2 \forall 1<a_n<2$
suy ra $(a_n)$ bị chặn trên bởi $2$
$(a_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ, đặt $lima_n=b$, chuyển về giới hạn ta có: $b=3-\frac{b+2}{2^{b}}$ (1)
Xét $g(b)=b-3+\frac{b+2}{2^{b}} \forall 1<b<2$, pt(1) viết dưới dạng $g(b)=0$
$g'(b)=1+\frac{2^{b}.(1-(b+2)ln2}{(2^{b})^{2}}=\frac{2^{b}+1-(b+2)ln2}{2^{b}} > \frac{b+1+1-(b+2)ln2}{2^{b}}=\frac{(b+2)(1-ln2)}{2^{b}}>0 \forall 1<b<2$($2^{b}>b+1$ theo bernulli)
suy ra $g$ là hàm tăng, suy ra pt $g(b)=0$ có nhiều nhất một nghiệm, mặt khác ta thấy $b=2$ thỏa nên $b=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g(b)=0$
Vậy $lima_n=2$
p/s:gõ latex xong mờ hết cả mắt
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai
VMO 2014- Đợi mình nhé

thay đổi nội dung bởi: nguoi_vn1, 11-01-2013 lúc 10:48 PM
nguoi_vn1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to nguoi_vn1 For This Useful Post:
huynhcongbang (14-01-2013)
Old 11-01-2013, 10:56 PM   #14
DuyLTV
Moderator
 
DuyLTV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: LTVer
Bài gởi: 616
Thanks: 161
Thanked 234 Times in 157 Posts
Theo mình, thì bài toán này thuộc dạng bài quen thuộc cho bởi $a_{n+1}=f(a_n) $, dạng này được thầy Dũng giới thiệu khá chi tiết trong cuốn sách Tài liệu giáo khoa chuyên Toán phần Giải tích lớp 11.
@ nguoi_vn1: Cũng với cái "kịch bản" mà thầy Dũng nêu ra, thì sau khi chứng minh được $f(x)>0 $ và $a_2>a_1 $, thì việc chứng minh $a_n>1 $ là không cần thiết nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DuyLTV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-01-2013, 11:50 PM   #15
nguoi_vn1
+Thành Viên+
 
nguoi_vn1's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 127
Thanks: 87
Thanked 35 Times in 22 Posts
$f'(x)$ có chứa $xln2$ đó anh, cm $a_n>1$ trước để cm $f'(x)>0$, thực ra ban đầu e cm $a_n>0$ nhưng về sau làm chặt lại nên lớn hơn 1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai
VMO 2014- Đợi mình nhé
nguoi_vn1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:17 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 107.58 k/123.77 k (13.08%)]