Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 06-04-2013, 03:58 PM   #16
Phongvan34
+Thành Viên+
 
Phongvan34's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Bài gởi: 15
Thanks: 16
Thanked 7 Times in 4 Posts
Bài BĐT ngày 2 xưa quá. Dùng pqr cũng ngắn gọn. Năm nay, mình thấy đề TST rất ko hay. Thực sự là như vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Phongvan34 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 04:17 PM   #17
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Bài 3: Chuyển bài toán hàm sang điền số vào bảng chữ nhật. Số cột là vô hạn, số hàng là 2n+1. Bằng các xét các cặp đường chéo song song ( chia thành các cặp 4 ô tạo thành dấu +).

Nếu n = 2k+1 (xem hình). Dễ thấy rằng mỗi ô đỏ là tổng của hai ô xanh. Tương tự ô tím là tổng của hai ô xanh da trời. Từ đó dễ dàng chứng minh được hàng thứ 2n-1 chỉ gồm các số 0. Theo tính đối xứng thì hàng 3 cũng toàn số 0. Do đó trong trường hợp này ta có kết quả giống với trường hợp n = 1. Hay max là 5.

Nếu n = 2k ( xem hình). Dễ thấy các ô đỏ bằng nhau. Do đó các số trên hàng (2 hay 2n) tuần hoàn với chu kì 2n. Và khi hàng 2 (hay 2n) đã xác định thì các hàng còn lại được xác định từ nó một cách duy nhất. Vậy ta có trong trường hợp này max là $2\times 2n+1 = 4n+1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Hình Kèm Theo
Kiểu File : jpg TST2013_3_2.jpg (36.5 KB, 58 lần tải)
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 06-04-2013 lúc 04:19 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
huynhcongbang (06-04-2013), nqt (06-04-2013), thiendieu96 (07-04-2013), vulalach (07-04-2013)
Old 06-04-2013, 04:35 PM   #18
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Bài bđt em nghĩ là không phải quá cũ, mà đáp số có vẻ như $k=13 $ mới đúng( ví dụ với bộ $b=c=0.67146 $)
Bài hình ngày 2, ý b, ta có vài nhận xét nhỏ:
$IK $ tiếp xúc với $(J) $ tại $K $, các tam giác $IKC $, $JGK $ vuông cân.
Từ đó đưa bài toán về cho tam giác $KIJ $ vuông tại $K $, dựng ra ngoài 2 tam giác vuông cân $KJG $ và $KIC $, chứng minh giao điểm của $IG $ và $JC $ thuộc đường cao tam giác vuông.

Đề ngày 1, tập S còn chứa cả 0 nữa đấy, chỉ sai lệch một chút nhưng mọi thứ khác đi khá nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu

thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 06-04-2013 lúc 04:41 PM
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
huynhcongbang (06-04-2013), n.v.thanh (06-04-2013), thaygiaocht (08-04-2013), thiendieu96 (07-04-2013), TNP (06-04-2013), Trànvănđức (07-04-2013)
Old 06-04-2013, 04:53 PM   #19
dduclam
+Thành Viên Danh Dự+
 
dduclam's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 481
Thanks: 63
Thanked 168 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới dduclam
Trích:
Nguyên văn bởi hungqh View Post
Bài 4:
Cho $a=1 $ ta có:
$ b+c-2=k\frac{b+c-2}{4(b+c+2)}. $(*)
Với $b+c $ rất bé tiến về 2 ta có được $k=16 $ là số nguyên lớn nhất thõa (*).
Ta chứng minh $k=16 $ là số cần tìm.
Đặt $a=x^{2},b=y^{2},c=z^{2} $ với $x,y,z $dương.
khi đó $xyz=1 $. Ta cần chứng minh
$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+ \frac{16}{x^2+y^2+z^2+1}\geq 7 $.
Không mất tính tổng quát giả sử $x $ lớn nhất ta suy ra x$\geq 1 $
Trước hết ta sẽ chứng minh rằng :
$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+ \frac{16}{x^2+y^2+z^2+1}\geq 2x^2yz+y^2z^2+\frac{16}{x^2+2yz+1} $
$\Leftrightarrow (y-z)^2(x^2(x^2+y^2+z^2+1)(x+2yz+1)-16)\geq 0 $
Lại có $x^2(x^2+\frac{2}{x}+1)=x^4+x^2+2x \geq 4 $(do $ x\geq 1 $);
Và $x^2+y^2+z^2+1\geq 4 $ (theo cauchy)
Nên từ đó nhân hai biểu thức lại ta có điều cần chứng minh.
Vậy ta chỉ còn cần chứng minh:
$2x^2yz+y^2z^2+\frac{16}{x^2+2yz+1}\geq 7 $
$\Leftrightarrow \frac{1}{x^2}+2x+\frac{16}{x^2+\frac{2}{x}+1}\geq 7
\Leftrightarrow x^6+x^4+7x^3-3x-6\geq 0
\Leftrightarrow (x-1)(x^5+x^4+2x^3+9x^2+9x+6)\geq 0 $ (đúng với $x\geq 1 $).
Vậy $k=16 $ là giá trị cần tìm.
Bài 2)
Câu a)
Theo Brocard thì $ PQ $ và $AI $ vuông góc với nhau suy ra ta có:
$\hat{IQH}=90-\hat{AIB}+180-2\hat{B}=\hat{AIC}+90-2(135-\hat{C})=\hat{AIC}-(180-2\hat{C})=\hat{AIE}. $

Nếu $k=16$, cho $a =3, b=c=1/\sqrt3$ thì $VT-VP=-0.0986.. <0$.

Bài này theo mình giá trị max cua k la 14, và dấu = xảy ra tại k này ngoài điểm $a=b=c=1$ còn xảy ra tại $a=\sgrt2, b=c=1/\sgrt2$,
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Một chút cho tâm hồn bay xa
dduclam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to dduclam For This Useful Post:
hungqh (06-04-2013), Trànvănđức (07-04-2013)
Old 06-04-2013, 05:53 PM   #20
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi Phongvan34 View Post
Bài BĐT ngày 2 xưa quá. Dùng pqr cũng ngắn gọn.
Tôi nghĩ bài này không dùng pqr được.
------------------------------
Trích:
Nguyên văn bởi dduclam View Post
Nếu $k=16$, cho $a =3, b=c=1/\sqrt3$ thì $VT-VP=-0.0986.. <0$.

Bài này theo mình giá trị max cua k la 14, và dấu = xảy ra tại k này ngoài điểm $a=b=c=1$ còn xảy ra tại $a=\sgrt2, b=c=1/\sgrt2$,
hunghq sai ở đoạn cuối.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: namdung, 06-04-2013 lúc 05:54 PM Lý do: Tự động gộp bài
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 05:55 PM   #21
dduclam
+Thành Viên Danh Dự+
 
dduclam's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 481
Thanks: 63
Thanked 168 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới dduclam
À, mình tính toán nhầm một chút, max k=13, đó là giá trị nguyên gần nhất bé hơn $\min\limits_{x >0} \frac{4(2x+1)(x^3+x+2)}{x^2(x+2)} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Một chút cho tâm hồn bay xa

thay đổi nội dung bởi: dduclam, 06-04-2013 lúc 06:33 PM Lý do: Gõ sai lệnh phân số
dduclam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 05:56 PM   #22
namdung
Administrator

 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Tp Hồ Chí Minh
Bài gởi: 1,341
Thanks: 209
Thanked 4,062 Times in 777 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới namdung
Trích:
Nguyên văn bởi Traum View Post
Bài 3: Chuyển bài toán hàm sang điền số vào bảng chữ nhật. Số cột là vô hạn, số hàng là 2n+1. Bằng các xét các cặp đường chéo song song ( chia thành các cặp 4 ô tạo thành dấu +).

Nếu n = 2k+1 (xem hình). Dễ thấy rằng mỗi ô đỏ là tổng của hai ô xanh. Tương tự ô tím là tổng của hai ô xanh da trời. Từ đó dễ dàng chứng minh được hàng thứ 2n-1 chỉ gồm các số 0. Theo tính đối xứng thì hàng 3 cũng toàn số 0. Do đó trong trường hợp này ta có kết quả giống với trường hợp n = 1. Hay max là 5.

Nếu n = 2k ( xem hình). Dễ thấy các ô đỏ bằng nhau. Do đó các số trên hàng (2 hay 2n) tuần hoàn với chu kì 2n. Và khi hàng 2 (hay 2n) đã xác định thì các hàng còn lại được xác định từ nó một cách duy nhất. Vậy ta có trong trường hợp này max là $2\times 2n+1 = 4n+1 $.
Traum đọc kỹ đề nhé. Chú ý S = {0, 1, 2, ..., 2n+1}.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
namdung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 06:03 PM   #23
NhamNgaHanh
Vọng Phong Nhi Đào
 
NhamNgaHanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Bài gởi: 282
Thanks: 85
Thanked 207 Times in 111 Posts
Đề này nhiều Hình quá các bạn ạ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nhâm Ngã Hành
NhamNgaHanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 06:26 PM   #24
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 164
Thanks: 792
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi dduclam View Post
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ hai - 06/04/2013


Bài 1.

Tìm số nguyên duơng $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0$ và $ abc=1$
$$ \frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}+\frac k{a+b+c+1} \ge 3+ \frac k{4}. $$
Bài này sai chủ yếu là do không để ý rằng $k \in \mathbb{N} $.
Cho $b=c=x, z=\frac{1}{x^2} $ thay vào ta được:
$k \le \frac{4(x+2)(2x^3+x^2+1}{x(2x+1)}:=f(x). $
Điều kiện để bất đẳng thức đã cho đúng với mọi $a,b,c $ là $k \le \min_{x>0}f(x) $.
Công việc tiếp theo là ta chỉ ra $f(x)>13 $ với mọi $x>0 $ và tồn tại $x $ để $f(x)<14. $ (ý là $\min_{x>0}f(x)<14 $).
Cái đầu tương đương $8x^4+20x^3-18x^2-9x+8>0 $, có thể chia nhỏ các trường hợp của $x $ (có thể kết hợp thêm đạo hàm) để chứng minh. Cái sau có thể chỉ ra giá trị $x=\frac{7^4}{10^4} $ thỏa mãn.
Việc còn lại là chứng minh bất đẳng thức
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{13}{a+b+ c+1} \ge \frac{25}{4}. $
Cách quy về 2 biến sau là một hướng xử lý:
Giả sử $a \ge 1 $ khi đó $bc \le 1 $.
Ta sẽ chứng minh
$bc+\frac{b+c}{bc}+\frac{13bc}{1+bc(b+c)+bc} \ge bc+\frac{2\sqrt{bc}}{bc}+\frac{13bc}{1+bc(2\sqrt{b c})+bc} $
và $bc+\frac{2\sqrt{bc}}{bc}+\frac{13bc}{1+bc(2\sqrt{b c})+bc} \ge \frac{25}{4} $.
Cái đầu sau khi loại nhân tử $(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 $ thu được một bất đẳng thức theo $t=\sqrt{bc} $, cụ thể là $1+2t^3+t^2>\sqrt{13}t^3 $, điều này đúng khi $t \le 1. $
Cái sau tương đương $8t^4+20t^3-18t^2-9t+8>0 $, đã chứng minh ở trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 06-04-2013 lúc 07:25 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
dvtruc (07-04-2013), huynhcongbang (06-04-2013), huyt2k22 (12-04-2013), thiendieu96 (07-04-2013), Trànvănđức (07-04-2013)
Old 06-04-2013, 06:45 PM   #25
nguyenta98
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: THPT chuyên KHTN
Bài gởi: 53
Thanks: 7
Thanked 42 Times in 26 Posts
Em có góp ý trong file anh Huynh Cong Bang có bài số học bị sai, phải là $(m+1)n+1$ là scp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nguyenta98 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to nguyenta98 For This Useful Post:
huynhcongbang (06-04-2013)
Old 06-04-2013, 06:55 PM   #26
dduclam
+Thành Viên Danh Dự+
 
dduclam's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 481
Thanks: 63
Thanked 168 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới dduclam
Trích:
Nguyên văn bởi NhamNgaHanh View Post
Đề này nhiều Hình quá các bạn ạ.
Mạch chung của TST vẫn thường có hai bài Hình, hoặc hai bài Số, hoặc hai bài Tổ hợp mà anh. Nhưng em nghĩ thay 1 bài Hình bởi bài Phương trình hàm có lẽ hay hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Một chút cho tâm hồn bay xa
dduclam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to dduclam For This Useful Post:
Trànvănđức (07-04-2013)
Old 06-04-2013, 07:50 PM   #27
liverpool29
+Thành Viên+
 
liverpool29's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hue
Bài gởi: 348
Thanks: 425
Thanked 560 Times in 237 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi DaiToan View Post
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có góc $BAC$ bằng $45^0$. Các đường cao $AD, BE, CF$ trực tâm $H$. Đường thẳng $EF$ cắt đt $BC$ tại $P. I$ là trung điểm của $BC; IF$ cắt $PH$ tại $Q$.
a) Chứng minh rằng góc $IQH=AIE$.
b) Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $AEF$; $(J)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $KPD. CK$ cắt đường tròn $(J)$ tại $G; IG$ cắt $(J)$ tại $M; JC$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại $N$. Chứng minh rằng $G; N; M;C$ cùng thuộc một đường tròn.
Câu a: Ta có do $H$ là trực tâm của tam giác $AIP$ nên ta suy ra $\widehat{HQI}=90-\widehat{FIA}=\widehat{AIE}$.
Câu b: Ta chứng minh được rằng $JK$ là tiếp tuyến tại $K$ của đường tròn đường kính $BC$.
Từ đây, bằng biến đổi góc, ta lần lượt thu được các kết quả sau:
- $BK$ là phân giác của $\widehat{PKD}$
- $JK^2=JN.JC$; từ đây suy ra $\widehat{XKN}=\widehat{KCN}=\widehat{KBN}$, suy ra $X,B,N$ thẳng hàng. (với $X$ là giao điểm của $GI,JK$).
Từ đây ta quy việc chứng minh $G,N,M,C$ đồng viên về chứng minh $N,X,K,M$ đồng viên.
Ta có $IK^2=IM.IG=IC^2$, nên ta chứng minh được tứ giác $IMKC$ nội tiếp.
Suy ra $\widehat{NXM}=180-\widehat{XBI}-\widehat{XIB}=\widehat{NKC}-\widehat{XIB}=\widehat{NKM}$
Nên ta có $IMKC$ nội tiếp được.
Ta có đccm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LIFE HAS SENT TO US A MIRACLE, IT'S GEOMETRY

"Don't try your best. Do your best."
liverpool29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to liverpool29 For This Useful Post:
huynhcongbang (07-04-2013)
Old 06-04-2013, 07:54 PM   #28
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,401
Thanks: 2,164
Thanked 4,152 Times in 1,370 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Mình gửi lại file đề thi đầy đủ cả hai ngày.
Xin lỗi mọi người vì đã nghe nhầm câu 3, dẫn đến sai kết quả nghiêm trọng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf De Thi TST 2013.pdf (169.5 KB, 344 lần tải)
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
A Good Man (07-04-2013), anhdunghmd (06-04-2013), liverpool29 (06-04-2013), magician_14312 (06-04-2013), n.v.thanh (06-04-2013), pHnAM (06-04-2013), thiendieu96 (07-04-2013), Trànvănđức (07-04-2013)
Old 06-04-2013, 08:30 PM   #29
nguyenta98
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Đến từ: THPT chuyên KHTN
Bài gởi: 53
Thanks: 7
Thanked 42 Times in 26 Posts
Câu 6 tổ hợp ngày thứ hai em nghĩ ra một hướng nhưng chưa cm được
Ta chọn $3$ mặt của khối lập phương đó sao cho $3$ mặt đó đôi một kề nhau
Bạn An sẽ chọn ô mà cả $3$ mặt chứa (là ô ở đỉnh)
Và bạn An sẽ chọn mỗi mặt một bảng hình vuông $9*9$ đối đỉnh với mặt của ô chung vừa chọn ở trên
Tổng cộng số ô là $81*3+1=244$ là số ô mà An cần hỏi, việc cm các ô kia sẽ giúp An biết toàn bộ bảng vô cùng đơn giản, một thanh đô mi no $1*1*10$ khi lấy ra chỉ có một trong ba phương tương ứng với ba mặt mà An vừa chọn mà mỗi thanh đô mi no không có ô chung nào (vì ngược lại thì mâu thuẫn đk bài toán rằng các ô đô mi no được chọn không có chung cạnh hay chung đỉnh) $(1)$ khi ấy từ các ô chọn ở trên sẽ xác định được các đô mino mà Bình chọn, thật vậy ví dụ từ các ô ở trên mà An chọn xét trong đó một ô đen bất kì (nếu ko có ô đen nào tức là Bình đã ko lấy quân đomino nào từ đó hình lập phương sẽ toàn trắng), lúc đó xét hình chữ thập đi qua ô đen đó và xét quân đô mino lấy ô đen đó làm mặt $1*1$ do nhận định ở trên, chỉ một trong ba hình, bao gồm hai quân ở hình chữ thập, và quân đô mino lấy ô đen làm mặt $1*1$ là quân đô mino mà Bình chọn, tức là quân đô mino mà trên đó toàn đen vì theo nhận định $(1)$, từ đó xác định được dạng tô màu của hình lập phương
Tuy nhiên em chưa cm dc số đó là min ??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: nguyenta98, 06-04-2013 lúc 08:36 PM
nguyenta98 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-04-2013, 09:44 PM   #30
dduclam
+Thành Viên Danh Dự+
 
dduclam's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Đại học Sư phạm Hà Nội
Bài gởi: 481
Thanks: 63
Thanked 168 Times in 92 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới dduclam
Bài bất đẳng thức để ý rằng chỉ cần tìm $k$ nguyên dương, nên chỉ cần dồn biến thuần túy mà không cần khảo sát hàm số (nói cách khác là không tốn công sức tìm $k_{\max}$) như sau:

Trước hết ta chứng minh với mọi $k=13$ thì $f(a,b,c)\ge f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$ (1), với $f(a,b,c)=\dfrac1{a}+\dfrac1{b}+\dfrac1{c}+\dfrac k{a+b+c+1}.$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c \Rightarrow a\ge 1\ge \sqrt{bc}.$
$$(1)\Leftrightarrow (\sqrt b-\sqrt c)^2\left(\dfrac1{bc}-\dfrac k{(a+b+c+1)(a+2\sqrt{bc}+1)}\right) \ge0 $$
luôn đúng vì $(a+b+c+1)(a+2\sqrt{bc}+1)\ge (a+2\sqrt{bc}+1)^2\ge16bc>kbc$.
Bây giờ ta chỉ cần kiểm tra $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\ge 3+\dfrac {13}4.$ Thay $\sqrt{bc}=\dfrac1{\sqrt a}=\dfrac1{x}$ thì điều này tương đương
$$ \dfrac{1}{x^2}+2x+\dfrac{13}{\left(x^2+\dfrac{2}{x }+1\right)} \ge 3+\frac{13}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2}+2x-3+13\left(\dfrac{x}{\left(x^3+x+2\right)}-\frac{1}{4}\right) \ge 0 $$
hay tương đương $ (x-1)^2[4(2x-3)^2(8x^2+15x+9)+49(x-1)+4]\ge0 $, luôn đúng do $x\ge1$.

Cuối cùng, với $k=14$, cho $a=2.1, b=c=\dfrac1{\sqrt{2.1}}$ thì $VT-VP=-0.000625..<0$. Đương nhiên BĐT sai với $k=k_0$ thì cũng sai với $k>k_0$. Vậy số nguyên dương lớn nhất của $k$ để BĐT đúng là $k_{\max}=13$.

Bài này hiểm ở chỗ, nếu không cẩn thận có thể nhầm $k_{\max}=14$, là trường hợp mà xảy ra dấu bằng xảy ra tại 1 điểm đặc biệt $a=2,b=c=\dfrac1{\sqrt2}$. Nếu $k=14$ mà đúng thì bài BĐT này trở nên đẹp hơn nhiều, tiếc là điều đó không xảy ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Một chút cho tâm hồn bay xa

thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 07-04-2013 lúc 04:42 PM Lý do: Chỉnh sửa lại công thức
dduclam is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to dduclam For This Useful Post:
hphnna (18-04-2013), thaibinh (06-04-2013), thiendieu96 (07-04-2013)
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 06:50 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 116.28 k/133.52 k (12.91%)]