Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 24-02-2018, 12:15 PM   #1
fatalhans
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 31
Thanks: 41
Thanked 3 Times in 3 Posts
Một bài toán về cấp

Cho $a;\,m$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố, biết rằng $m\mid\left(\dfrac{{{a^p} - 1}}{{a - 1}}\right)$. Chứng minh rằng \[p\mid m(m-1).\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: fatalhans, 24-02-2018 lúc 12:35 PM
fatalhans is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2018, 01:16 PM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi fatalhans View Post
Cho $a;\,m$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố, biết rằng $m\mid\left(\dfrac{{{a^p} - 1}}{{a - 1}}\right)$. Chứng minh rằng \[p\mid m(m-1).\]
Ta viết phân tích ra thừa số nguyên tố
\[m = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}} \ldots p_n^{{k_n}};\;(*).\]
Trong đó $p_1;\,p_2;\,\ldots ;\,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt và $k_1;\,k_2;\,\ldots ;\,k_n\in\mathbb Z^+$, ta cũng đặt $\text{ord}_{p_i}(a)=h_i$.

Từ giả thiết, ta có $p_i\mid\left(a^p-1\right)\;\forall\,i=\overline{1,\,n}$ nên $h_i\mid p\;\forall\,i=\overline{1,\,n}$ tức là $h_i\in\{1;\,p\}\;\forall\,i=\overline{1,\,n}$, xét hai trường hợp sau
  1. Nếu tồn tại chỉ số $i$ sao cho $h_i=1$, khi đó $a\equiv 1\pmod{p_i}$. Từ giả thiết lại có $p_i\mid \left(\dfrac{{{a^p} - 1}}{{a - 1}}\right)$ và
    \[\frac{{{a^p} - 1}}{{a - 1}} = 1 + a + \ldots + {a^{p - 1}} \equiv \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{p\;\text{số}\;1} \equiv p\pmod{p_i}.\]
    Vì thế $p_i\mid p$, nhưng chúng đều là các số nguyên tố nên $p=p_i$ và khi đó $p\mid m$; (1).

  2. Nếu không tồn tại chỉ số $i$ sao cho $h_i=1$, thế thì $h_i=p\;\forall\,i=\overline{1,\,n}$. Từ việc $h_i\mid\left(p_i-1\right)$, ta có $p_i\equiv 1\pmod p \;\forall\,i=\overline{1,\,n}$ và từ $(*)$ có
    \[m = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}} \ldots p_n^{{k_n}} \equiv {1^{{k_1}}}{1^{{k_2}}} \ldots {1^{{k_n}}} \equiv 1\pmod p\]
    Tức là ở tình huống này, ta có $p\mid (m-1)$; (2).
Từ (1)(2), ta có được điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is online now   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
fatalhans (24-02-2018)
Old 24-02-2018, 01:42 PM   #3
fatalhans
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 31
Thanks: 41
Thanked 3 Times in 3 Posts
\[{a^p} \equiv 1{\rm{ }}(\bmod {\rm{ m) }}\]
Điều này suy ra gcd(a,m)=1 ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
fatalhans is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2018, 01:50 PM   #4
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi fatalhans View Post
\[{a^p} \equiv 1{\rm{ }}(\bmod {\rm{ m) }}\]
Điều này suy ra gcd(a,m)=1 ?
Chắc chắn rồi!

PS. Cố gắng lên nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is online now   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
fatalhans (24-02-2018)
Old 24-02-2018, 07:31 PM   #5
fatalhans
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 31
Thanks: 41
Thanked 3 Times in 3 Posts
Ta có ${{{a}}^p} \equiv 1{\rm{ }}\bmod m$, gọi $\text{ord}_m(a) = h$, suy ra $h|p$ hay

Trường hợp $h =1$ thì ${\rm{a}} \equiv {\rm{1 (mod m)}}$, mặt khác$$\frac{{{a^p} - 1}}{{a - 1}} \equiv 0{\rm{ }}(\bmod {{ m)}}.$$Hay
$${{{a}}^{p - 1}} + ... + 1 \equiv 1 + 1 + ...1 = p \equiv 0{\rm{ }}\pmod{{ m}}$$
Suy ra $m|p$ hay $m = p$.

Có đúng kh ạ ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: fatalhans, 24-02-2018 lúc 09:41 PM
fatalhans is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-02-2018, 10:03 PM   #6
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi fatalhans View Post
Ta có ${{{a}}^p} \equiv 1{\rm{ }}\bmod m$, gọi $\text{ord}_m(a) = h$, suy ra $h|p$ hay

Trường hợp $h =1$ thì ${\rm{a}} \equiv {\rm{1 (mod m)}}$, mặt khác$$\frac{{{a^p} - 1}}{{a - 1}} \equiv 0{\rm{ }}(\bmod {{ m)}}.$$Hay
$${{{a}}^{p - 1}} + ... + 1 \equiv 1 + 1 + ...1 = p \equiv 0{\rm{ }}\pmod{{ m}}$$
Suy ra $m|p$ hay $m = p$.

Có đúng kh ạ ?
Bạn làm đúng! Nhưng đó, mới chỉ là trường hợp $\text{ord}_m(a) = h=1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is online now   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:17 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 56.56 k/64.33 k (12.07%)]