Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 22-03-2018, 02:06 PM   #1
lamha95
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2018
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Phương trình $(1+x)^y=1+x!$

Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn\[1+x! =(1+x)^y.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lamha95 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 22-03-2018, 06:48 PM   #2
fatalhans
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 31
Thanks: 41
Thanked 3 Times in 3 Posts
Cái này có bóng dáng Wilson
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
fatalhans is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 24-03-2018, 10:17 PM   #3
ncthanh
Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 14
Thanks: 37
Thanked 7 Times in 6 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi lamha95 View Post
Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn\[1+x! =(1+x)^y.\]
$1 + x! = {\left( {1 + x} \right)^y}{\rm{ }}\left( * \right)$
Với $x = 1$ ta có ${2^y} = 2 \Leftrightarrow y = 1$ $ \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$
Tương tự với các trường hợp $x = 2$, $x = 3$ và $x = 4$ ta tìm được $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right);\left( {4;5} \right)$
Bây giờ ta đi chứng minh $\forall x > 4$, $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên dương.
TH1: $x=2k+1$,$k \in Z$: Dễ thấy $2$ là ước của $VP$, còn $VT$ không chia hết cho $2$ nên $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên.
TH2: $x=2k$,$k \in Z$, mà $x>4$ nên $x$ không là số nguyên tố, để có $x|\left( {x - 1} \right)!$
Có: \[\begin{array}{l}
x! = {\left( {x + 1} \right)^y} - 1 = C_y^1x + C_y^2{x^2} + ... + C_y^y{x^y}\\
\Rightarrow \left( {x - 1} \right)! = x\left( {C_y^2 + C_y^3x + ... + C_y^y{x^{y - 2}}} \right) + y
\end{array}\]
mà $x|\left( {x - 1} \right)!$ nên $x|y \Rightarrow y \ge x$
Do đó: ${\left( {x + 1} \right)^y} \ge {\left( {x + 1} \right)^x} > x! + 1$ (vì $x>4$)
Nên $\left( * \right)$ vô nghiệm
Vậy $\forall x > 4$, $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên dương.
Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right);\left( {2;1} \right);\left( {4;5} \right)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ncthanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:30 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 43.86 k/48.78 k (10.09%)]