Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-06-2011, 03:03 PM   #1516
toanlc_gift
+Thành Viên+
 
toanlc_gift's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Đến từ: FU
Bài gởi: 171
Thanks: 31
Thanked 142 Times in 80 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ilovehien95 View Post
Cho a,b,c là số thực dương
cm
$ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}
+\dfrac{c^2}{a} \ge \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2-ac} $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
toanlc_gift is offline  
The Following 3 Users Say Thank You to toanlc_gift For This Useful Post:
ilovehien95 (27-06-2011), ladykillah96 (27-06-2011), Mr_Trang (30-06-2011)
Old 27-06-2011, 03:24 PM   #1517
crazy_nhox
+Thành Viên+
 
crazy_nhox's Avatar
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Đến từ: Heaven
Bài gởi: 166
Thanks: 44
Thanked 68 Times in 49 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ilovehien95 View Post
Cho a,b,c là số thực dương
cm
$ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}
+\dfrac{c^2}{a} \ge \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2-ac} $
Ta có: áp dụng bđt Cosi $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{b}+b\geq 2\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}} $
Tuơng tự có $\frac{b^{2}-bc+c^{2}}{c}+c\geq 2\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}} $ và $\frac{c^{2}-ca+a^{2}}{a}+a\geq 2\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}} $. Cộng vế 3 bđt lại ta có $VT\geq 2VP-a-b-c $
Lại có theo bđt Mikowsyki có $VP\geq \sqrt{\left ( a-\frac{b}{2}+b-\frac{c}{2}+c-\frac{a}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}\left ( a+b+c \right )^{2}}= a+b+c $. Từ đó ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________

thay đổi nội dung bởi: crazy_nhox, 27-06-2011 lúc 06:28 PM Lý do: lỗi chính tả
crazy_nhox is offline  
Old 27-06-2011, 03:58 PM   #1518
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 300
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ilovehien95 View Post
Cho a,b,c là số thực dương
cm
$ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}
+\dfrac{c^2}{a} \ge \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2-ac} $
Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau

$2\left (\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}
+\frac{c^2}{a} \right ) \ge 2\left (\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2} \right ) $

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}
+\frac{c^2}{a}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c $

Vậy để chứng minh bài toán ta cần chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau đây

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}
+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge 2\left (\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2} \right ) $

hay là

$\left (\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\right )+\left (\frac{b^2-bc+c^2}{c}+c\right )+\left (\frac{c^2-ca+a^2}{a}+a\right )\ge 2\left (\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2} \right ) $

Bất đẳng thức cuối cùng hiển hiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM nên ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport
Nguyenhuyen_AG is offline  
The Following 3 Users Say Thank You to Nguyenhuyen_AG For This Useful Post:
crazy_nhox (27-06-2011), ilovehien95 (28-06-2011), MathForLife (27-06-2011)
Old 27-06-2011, 04:47 PM   #1519
crystal_liu
+Thành Viên+
 
crystal_liu's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Akaban
Bài gởi: 353
Thanks: 94
Thanked 199 Times in 141 Posts
Cho n dương các số dương thỏa mãn $a_1.a_2...a_n=1 $
Chứng minh rằng
$\frac{1}{(1+a_1)^k}+\frac{1}{(1+a_2)^k}+...+\frac{ 1}{(1+a_n)^k} \geq min({2,\frac{n}{2^k}) $
Mong các bạn giúp tìm một lời giải sơ cấp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
BEAST
crystal_liu is offline  
Old 27-06-2011, 05:38 PM   #1520
Aponium
+Thành Viên+
 
Aponium's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Bài gởi: 40
Thanks: 79
Thanked 11 Times in 11 Posts
Cho a,b,c là 3 số thực thuộc đoạn (0;1). Chứng minh rằng:
$(a-a^{2})(b-b^{2})(c-c^{2}) \ge (a-bc)(b-ca)(c-ab) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Aponium is offline  
Old 27-06-2011, 06:00 PM   #1521
thelassamurai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2011
Bài gởi: 10
Thanks: 1
Thanked 3 Times in 3 Posts
Giúp mình bài này với
Cho $a,b,c>0 $ tìm GTNN của đa thức::
$P=\frac{a+b}{a+b+c} +\frac{b+c}{b+c+4a} +\frac{c+a}{c+a+16b} $
srr vì mình không biết xài latex.


@thelassamurai: Bạn học gõ latex ở [Only registered and activated users can see links. ] nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 27-06-2011 lúc 06:14 PM
thelassamurai is offline  
Old 27-06-2011, 11:32 PM   #1522
hoangcongduc
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Dec 2009
Đến từ: THPT chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ
Bài gởi: 78
Thanks: 92
Thanked 64 Times in 41 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hoangcongduc
Trích:
Nguyên văn bởi thelassamurai View Post
Giúp mình bài này với
Cho $a,b,c>0 $ tìm GTNN của đa thức::
$P=\frac{a+b}{a+b+c} +\frac{b+c}{b+c+4a} +\frac{c+a}{c+a+16b} $
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a+b+c=x\\b+c+4a=y\\c+a+16b= z\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\frac{y-x}{3}\\b=\frac{z-x}{15}\\c=\frac{21x-5y-z}{15}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{5y+z-6x}{15}\\b+c=\frac{4x-y}{3}\\c+a=\frac{16x-z}{15}\end{array}\right. $

Khi đó ta có:
$P=\frac{y}{3x}+\frac{4x}{3y}+\frac{z}{15x}+\frac{1 6x}{15z} -\frac{4}{5} $

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{y}{3x}+\frac{4x}{3y}=\frac{1}{3}(\frac{y}{x} +\frac{4x}{y}) \ge \frac{4}{3} $

$\frac{z}{15x}+\frac{16x}{15z}=\frac{1}{15}(\frac{z }{x}+\frac{16x}{z}) \ge \frac{8}{15} $

Do đó:
$P\ge \frac{4}{3}+\frac{8}{15}-\frac{4}{5}=\frac{16}{15} $

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4x=2y=z \Leftrightarrow a=\frac{5b}{3}=\frac{5c}{7} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
-----------------
-------------------------
TIÊN HỌC LỄ HẬU HỌC THÊM
hoangcongduc is offline  
The Following User Says Thank You to hoangcongduc For This Useful Post:
thelassamurai (28-06-2011)
Old 28-06-2011, 09:02 AM   #1523
nguyentrai_oly
+Thành Viên+
 
nguyentrai_oly's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Đến từ: horizon
Bài gởi: 44
Thanks: 31
Thanked 9 Times in 9 Posts
Tìm số k tốt nhất sao cho:
$sinA + sinB + sinC + k.(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}) \geq k+1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: leviethai, 28-06-2011 lúc 03:29 PM
nguyentrai_oly is offline  
Old 28-06-2011, 10:22 AM   #1524
nguyentrai_oly
+Thành Viên+
 
nguyentrai_oly's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Đến từ: horizon
Bài gởi: 44
Thanks: 31
Thanked 9 Times in 9 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Aponium View Post
Cho a,b,c là 3 số thực thuộc đoạn (0;1). Chứng minh rằng:
$(a-a^{2})(b-b^{2})(c-c^{2}) \ge (a-bc)(b-ca)(c-ab) $
Ta có:
$(a-a^{2})(b-b^{2})(c-c^{2}) = abc - abc^{2} + abc.(ab+bc+ca)-abc.(a+b+c) $
và:
$(a-bc)(b-ca)(c-ab)= abc - abc^{2}+ abc.(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) $
Khi đó, BĐT tương đương với:
$\Leftrightarrow abc.(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\leq abc.(a+b+c)-abc.(a+b+c) $
$\Leftrightarrow abc.(a^{2}+b^{2}+c^{2})-abc.(ab+bc+ca)\leq (a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc.(a+b+c) $
$\Leftrightarrow abc.[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]\leq b^{2}.(c-a)^{2}+c^{2}.(a-b)^{2}+a^{2}.(b-c)^{2} $
$\Leftrightarrow S_{a}.(b-c)^{2}+S_{b}.(c-a)^{2}+S_{c}.(a-b)^{2}\geq 0. $ (1)
Với: $S_{a}= a^{2}-abc; S_{b}=b^{2}-abc; S_{c}=c^{2}-abc. $
Mà:
*)$S_{a}+S_{b}+S_{c}= a^{2}+b^{2}+c^{2}-3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 3.(abc)^{\frac{2}{3}}-3(abc)^{2}\geq 0. $(do: $abc \in (0,1) $.)
*)$S_{a}.S_{b}+S_{b}.S_{c}+S_{c}.S_{a}= \sum a^{2}b^{2} + 3a^{2}b^{2}c^{2} - 2abc.(ab+bc+ca)\geq 0. $
vì: $a^{2}b^{2}+ a^{2}b^{2}c^{2} \geq 2a^{2}b^{2}c;
b^{2}c^{2}+ a^{2}b^{2}c^{2} \geq 2b^{2}c^{2}a;
c^{2}a^{2}+ a^{2}b^{2}c^{2} \geq 2c^{2}a^{2}b $
Nên theo định lí S.O.S ta có BĐT (1) đúng.Dẫn đến ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc: a = b = 0 cùng các hoán vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nguyentrai_oly is offline  
The Following User Says Thank You to nguyentrai_oly For This Useful Post:
Mr_Trang (30-06-2011)
Old 28-06-2011, 03:28 PM   #1525
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi nguyentrai_oly View Post
Ta có:
$(a-a^{2})(b-b^{2})(c-c^{2}) = abc - abc^{2} + abc.(ab+bc+ca)-abc.(a+b+c) $
và:
$(a-bc)(b-ca)(c-ab)= abc - abc^{2}+ abc.(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) $
Khi đó, BĐT tương đương với:
$\Leftrightarrow abc.(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\leq abc.(a+b+c)-abc.(a+b+c) $
$\Leftrightarrow abc.(a^{2}+b^{2}+c^{2})-abc.(ab+bc+ca)\leq (a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc.(a+b+c) $
$\Leftrightarrow abc.[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]\leq b^{2}.(c-a)^{2}+c^{2}.(a-b)^{2}+a^{2}.(b-c)^{2} $
$\Leftrightarrow S_{a}.(b-c)^{2}+S_{b}.(c-a)^{2}+S_{c}.(a-b)^{2}\geq 0. $ (1)
Với: $S_{a}= a^{2}-abc; S_{b}=b^{2}-abc; S_{c}=c^{2}-abc. $
Mà:
*)$S_{a}+S_{b}+S_{c}= a^{2}+b^{2}+c^{2}-3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 3.(abc)^{\frac{2}{3}}-3(abc)^{2}\geq 0. $(do: $abc \in (0,1) $.)
*)$S_{a}.S_{b}+S_{b}.S_{c}+S_{c}.S_{a}= \sum a^{2}b^{2} + 3a^{2}b^{2}c^{2} - 2abc.(ab+bc+ca)\geq 0. $
vì: $a^{2}b^{2}+ a^{2}b^{2}c^{2} \geq 2a^{2}b^{2}c;
b^{2}c^{2}+ a^{2}b^{2}c^{2} \geq 2b^{2}c^{2}a;
c^{2}a^{2}+ a^{2}b^{2}c^{2} \geq 2c^{2}a^{2}b $
Nên theo định lí S.O.S ta có BĐT (1) đúng.Dẫn đến ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc: a = b = 0 cùng các hoán vị.
Không cần dùng đến SOS đâu bạn à.

Bài này từng post đến 3 lần rồi.

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline  
The Following 2 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post:
ilovehien95 (29-06-2011), nguyentrai_oly (28-06-2011)
Old 29-06-2011, 12:28 AM   #1526
kid3494
+Thành Viên+
 
kid3494's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2011
Bài gởi: 53
Thanks: 31
Thanked 9 Times in 7 Posts
Cho $a, b, c > 0 $
CMR $\frac{a}{b + 2} + \frac{b}{c + 2} + \frac{c}{a + 2} \leq 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: kid3494, 29-06-2011 lúc 12:50 AM
kid3494 is offline  
Old 29-06-2011, 01:02 AM   #1527
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 300
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi kid3494 View Post
Cho $a, b, c > 0 $
CMR $\frac{a}{b + 2} + \frac{b}{c + 2} + \frac{c}{a + 2} \leq 1 $
Các biến cần phải có điều kiện ràng buộc chứ nếu không bất đẳng thức không đúng. Chằng hạn cho $a=b=n \to \infty ,\; c=9. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport

thay đổi nội dung bởi: Nguyenhuyen_AG, 08-07-2011 lúc 10:30 AM
Nguyenhuyen_AG is offline  
Old 29-06-2011, 11:15 AM   #1528
daiduong1095
+Thành Viên+
 
daiduong1095's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CVP-Math
Bài gởi: 287
Thanks: 13
Thanked 210 Times in 112 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới daiduong1095
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $abc=1 $.Cmr:
$\frac{a}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+3}}+ \frac{c}{\sqrt{a^{2}+3}}\geq \frac{3}{2} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
daiduong1095 is offline  
Old 29-06-2011, 12:24 PM   #1529
khtoan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2010
Đến từ: Đà Nẵng
Bài gởi: 155
Thanks: 23
Thanked 128 Times in 68 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daiduong1095 View Post
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $abc=1 $.Cmr:
$\frac{a}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+3}}+ \frac{c}{\sqrt{a^{2}+3}}\geq \frac{3}{2} $.
Theo cosi: $ab+bc+ca\geqslant 3 $
$\sum \frac{a}{\sqrt{b^{2}+3}}\geqslant \sum \frac{a}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}\geqslant \sum \frac{2a}{a+2b+c}\geqslant \frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca} \geqslant \frac{3}{2} $
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
khtoan is offline  
Old 29-06-2011, 12:28 PM   #1530
Nguyenhuyen_AG
+Thành Viên+
 
Nguyenhuyen_AG's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 300
Thanks: 35
Thanked 307 Times in 151 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi daiduong1095 View Post
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $abc=1 $.Cmr:
$\frac{a}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+3}}+ \frac{c}{\sqrt{a^{2}+3}}\geq \frac{3}{2} $.
Ta chỉ cần chứng minh được
$\sqrt{\frac{a}{b+3}}+\sqrt{\frac{b}{c+3}}+ \sqrt{\frac{c}{a+3}}\geq \frac{3}{2} $
Thay bộ $(a,b,c) $ bởi $\left ( \frac{x}{y},\frac{z}{x},\frac{y}{z} \right ). $ Ta đưa bất đẳng thức về dạng đồng bậc là
$\frac{x}{\sqrt{3xy+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3yz+zx}}+ \frac{z}{\sqrt{3zx+xy}}\ge\frac{3}{2} $
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
$\left (\sum \frac{x}{\sqrt{3xy+yz}} \right )^2\left [ \sum x(3xy+yz) \right ]\ge(x+y+z)^3 $
Vậy, ta cần chứng minh được
$(x+y+z)^3\ge \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz) $
Đây là một kết quả quen thuộc.
Trích:
Bài toán mạnh hơn sau đây vẫn đúng
$\frac{a}{\sqrt{b^{2}+8}}+\frac{b}{\sqrt{c^{2}+8}}+ \frac{c}{\sqrt{a^{2}+8}}\geq 1 $
với $a,b,c $ là các số dương có tích bằng $1. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University of Transport

thay đổi nội dung bởi: Nguyenhuyen_AG, 29-06-2011 lúc 12:36 PM
Nguyenhuyen_AG is offline  
Ðề tài đã khoá Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Tags
bất đẳng thức

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:45 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 106.96 k/123.20 k (13.18%)]