|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
27-10-2012, 03:17 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 29 Thanks: 7 Thanked 7 Times in 6 Posts | Hội tụ của chuỗi điều hoà Ai cũng biết chuỗi $\sum x^n/n $ không hội tụ khi $x=1 $. Chứng minh rằng chuỗi này hội tụ có điều kiện cho bất kì $|x|=1 $ nào khác. |
27-10-2012, 11:41 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Nghĩa là với mọi $|x| = 1$ mà $x\neq 1,$ thì chuỗi đã cho hội tụ. Bài toán đẩy về chuỗi lượng giác, nhưng 99 chưa nghĩ ra cách Ở ngôn ngữ hàm phức thì có nghĩa đây là một hàm chỉnh hình trên đĩa $D = \{z\in \mathbb{C}~:~ |z|<1\}$ thác triển liên tục lên đường tròn $\mathbb{S}^1 \backslash\{1\}$ (phát biểu như thế nghe hoành tráng hơn tý ). @elfking : em nên dùng thẻ $ cho tiện. |
27-10-2012, 12:14 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 29 Thanks: 7 Thanked 7 Times in 6 Posts | Em nghĩ là có thể dùng $\sum x^n/n=-log(1-x)$ khi $x<1$ để chứng minh là chuỗi bị chặn khi ở gần $e^{i\theta}$, nhưng mà không rành hội tụ có điều kiện nên không viết được chứng minh mà cũng chả biết làm thế có đúng không. Thứ hai nữa là em định dùng cái này để chứng minh L-hàm Dirichlet là hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức, còn hàm Riemann zeta lại có cực ở 0 và 1. Vấn đề là khi mình chọn $x=e^{i\theta}$ thì tử số vẫn không hoàn toàn giống với bất cứ một cái Dirichlet character nào. Em không biết là có cách nào so sánh chuỗi điều hoà ở trên với L-hàm Dirichlet ở điểm $s=1$ không. |
27-10-2012, 04:13 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Ừm, mấy cái chuỗi Fourier này anh quên cả rồi nhưng chứng minh chuỗi lượng giác ở trên hội tụ thì hoàn toàn có thể làm được bằng cách nhóm tổng Abel. Anh đoán vậy. Vậy là em đang học mấy cái về L-hàm? Có gì lúc nào anh đọc lại giải tích Fourier. |
28-10-2012, 02:02 AM | #5 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
Do đó $|S_m|\leq \frac{2}{|x-1|}$ với mọi $m$. với mọi $n,p\geq 0$ ta có $$ u_{n+p}-u_n =\sum_{k=1}^p \frac{x^{n+k}}{n+k} =\sum_{k=1}^p\frac{S_{n+k}-S_{n+k-1}}{n+k} = \frac{S_{n+p}}{n+p}-\frac{S_{n}}{n+1} +\sum_{k=1}^{p-1}S_{n+k}(\frac{1}{n+k} -\frac{1}{n+k+1}).$$ Do đó $$ |u_{n+p}-u_n|\leq \frac{2}{|x-1|}\bigg( \frac{1}{n+p} + \frac{1}{n+1} + \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{n+k} -\frac{1}{n+k+1}\bigg) = \frac{4}{|x-1|}\frac{1}{n+1}.$$ Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy suy ra chuỗi hội tụ. | |
The Following 4 Users Say Thank You to 123456 For This Useful Post: |
28-10-2012, 05:07 AM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 29 Thanks: 7 Thanked 7 Times in 6 Posts | Lời giải hay quá, cám ơn bạn 123456 nhiều. Như vậy là tất cả đều nhờ vào sự hội tụ của $\sum x^n$ khi $x\not=1$, và ta có thể chứng minh tương tự như thế hội tụ của $\sum a_n x^n$ khi $x\not=1$ miễn là $a_n\rightarrow 0$. Nghe bá đạo ra phết, tại vì $a_n$ có thể tiến tới 0 cực kì chậm, như $1/log(log(log n))$. Nhưng xét cho cùng tất cả đều không khó như $\sum x^n$ (ở đây dãy $a_n$ thậm chí không tiến đến 0), cho nên đúng là một khi đã chứng minh dãy này hội tụ rồi là có thể yên tâm. Bài này cho mình thêm rất nhiều trực quan về vấn đề hội tụ. Còn nếu dùng Fourier để giải như anh 99 nói thì đúng là đơn giản vì hàm $-log(1-x)$ liên tục ở $x\not=1$ nên khai triển Fourier hội tụ và bằng $-log(1-x)$. Nhưng cách này chắc là không làm được cho chuỗi với hệ số $1/log(log(log n))$ (chuẩn $L^2$ của chuỗi này là vô cùng). Vậy là phương pháp sơ cấp hơn lại khoẻ hơn |
28-10-2012, 03:51 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Ờ, anh không hề biết cách nào dùng chuỗi Fourier cả cái anh nghĩ là dùng phương pháp tổng Abel (Abel summation) giống như anh 123456. Cái mà anh 123456 làm chính là tổng Abel đấy. Nếu em học giải tích Fourier rồi thì không thể thiếu kỹ thuật này được. |
29-10-2012, 02:39 AM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 29 Thanks: 7 Thanked 7 Times in 6 Posts | Hê hê, tìm mãi mới được nút Thanks. Để bao giờ em phải tra lại cách chứng minh là khai triển Fourier hội tụ đến giá trị của hàm nếu hàm liên tục tại điểm đấy mới được, có khi là dùng khai triển Abel thật, mà nếu như thế thì yếu hơn không có gì là lạ |
29-10-2012, 10:35 AM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Thử nhen! $x=e^{i\theta}, \theta\neq 2k\pi. $ Qui bài toán về việc chứng minh $\sum \frac{\cos{n\theta}}{n}, \sum \frac{\sin{n\theta}}{n} $hội tụ. $\sum \frac{\cos{n\theta}}{n}\le \frac{2}{|\sin{\frac{x}{2}}|} $, $\sum \frac{\sin{n\theta}}{n}\le \frac{2}{|\sin{\frac{x}{2}}|} $ và$ \frac{1}{n} $ dương giảm, hội tụ về 0 nên theo tiêu chuẩn Dirichlet có chuỗi hội tụ[Only registered and activated users can see links. ] |
The Following User Says Thank You to Galois_vn For This Useful Post: | elfking (30-10-2012) |
29-10-2012, 12:26 PM | #10 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 29 Thanks: 7 Thanked 7 Times in 6 Posts | Lại một cách giải hay bạn Galoi_vn giải thích hộ mình vì sao $\sum cos n\theta /n\leq 2/|sin x/2|$ với. |
29-10-2012, 04:35 PM | #11 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | Trích: Có điều này là do $\sum_{i=1}^n \cos(kx) = \frac{\sin\frac{nx}{2} \cdot \cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} $ và $\sum_{i=1}^n \sin(kx) = \frac{\sin\frac{nx}{2} \cdot \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} $. __________________ M. | |
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post: | Galois_vn (29-10-2012) |
29-10-2012, 05:20 PM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Trích:
| |
30-10-2012, 01:45 AM | #13 | |
Moderator Tham gia ngày: Jan 2011 Đến từ: Solar System Bài gởi: 367 Thanks: 201 Thanked 451 Times in 220 Posts | Trích:
Khai triển hàm số $f(x)=\dfrac{\pi-x}{2}$ trong khoảng $(0,2\pi)$, các hệ số Fourier lần lượt là: $$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}dx=\left. \frac{1}{2\pi}\left ( \pi x-\frac{x^2}{2} \right ) \right |_{0}^{2\pi}=0$$ $$\begin{align*} a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}\cos nx dx \\ &= \left. \frac{1}{2\pi}\left ( \pi -x \right ) \frac{\sin nx}{n}\right |_{0}^{2\pi}-\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\sin nx dx=0. \end{align*}$$ $$\begin{align*} b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}\sin nx dx \\ &= \left. -\frac{1}{2\pi}\left ( \pi -x \right ) \frac{\cos nx}{n}\right |_{0}^{2\pi}-\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\cos nx dx=\frac{1}{n}. \end{align*}$$ Vậy với $0<x<2\pi$, ta có: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi -x}{2}$$. _____________________ Ngoài ra cũng có thể chứng minh công thức trên bằng cách sử dụng định lý Lagrange. Ta có tổng chuỗi $$\sum_{n=1}^{\infty} \cos x=\dfrac{\sin \frac{nx}{2} \cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}=\frac{\sin \left ( n+\frac{1}{2} \right )x}{2\sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{2}.$$ Xét hàm số $$f_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}+\frac{\cos \left ( n+\frac{1}{2} \right )x}{(2n+1)\sin \frac{x}{2}}+\frac{x}{2}$$ khả vi trên $(0, 2 \pi)$ và $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f'_n(x)=0$. Sử dụng định lý Lagrange, có: $$f_n(x)-f_n(\pi)=f'_n(x)(x-\pi)$$ Cho $n$ tiến ra $\infty$, thu được $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}+\frac{x-\pi}{2}=0 \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi -x}{2}.$$ __________________ ...THE MILKY WAY... | |
The Following 3 Users Say Thank You to magician_14312 For This Useful Post: |
30-10-2012, 01:58 AM | #14 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Chẹp, chú Kiên tìm được cái hàm đẹp quá |
30-10-2012, 06:33 AM | #15 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | |
The Following 3 Users Say Thank You to 123456 For This Useful Post: |
Bookmarks |
|
|