Tích phân 3 lớp

[coban]

Tính $\displaystyle\iiint\limits_{G}\frac{dxdydz}{\sqrt {x^2+y^2+z^2}}$, trong đó G là miền giới hạn bởi các mặt sau $x^2+y^2+z^2=1, x^2+y^2-(1-z)^2=0$, G không chứa gốc tọa độ. Bài này mình định đổi sang tọa độ cầu nhưng lại không biết tham số hóa hình nón như thế nào. nếu thay $x,y,z$ trực tiếp vào phương trình $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$ thì được $r=\displaystyle\frac{1}{sin\theta+cos\theta}$. Nhưng theo mình biết thì phương trình mặt nón trục $Oz$ trong hệ tọa độ cầu luôn có dạng $\theta=const$. Nghĩ mãi không giải thích được, mong mọi người giúp đỡ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Nguyên văn bởi coban

Tính $\displaystyle\iiint\limits_{G}\frac{dxdydz}{\sqrt {x^2+y^2+z^2}}$, trong đó G là miền giới hạn bởi các mặt sau $x^2+y^2+z^2=1, x^2+y^2-(1-z)^2=0$, G không chứa gốc tọa độ. Bài này mình định đổi sang tọa độ cầu nhưng lại không biết tham số hóa hình nón như thế nào. nếu thay $x,y,z$ trực tiếp vào phương trình $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$ thì được $r=\displaystyle\frac{1}{sin\theta+cos\theta}$. Nhưng theo mình biết thì phương trình mặt nón trục $Oz$ trong hệ tọa độ cầu luôn có dạng $\theta=const$. Nghĩ mãi không giải thích được, mong mọi người giúp đỡ.

Dùng tọa độ cầu, miền G sẽ thành $\Omega =\left \{ (r,\varphi ,\theta ) \left|\begin{matrix}
0 \le \varphi \le 2\pi\\ 0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\\ \dfrac{1}{\cos \theta +\sin \theta} \le r \le 1

\end{matrix}\right. \right \}$.
Ở đây mình coi hình nón úp này như 1 hình cầu để tham số hóa.
Bài toán này cũng giống như bài toán tính tích phân bội trên miền là phần bù của hình vuông với hình tròn, khi ấy ta cũng tham số hóa hình vuông dưới dạng tọa độ cực.
__________________

Sử dụng tọa độ trụ cũng được:

Đặt $\begin{cases}
& x= r \cos \varphi \\
& y= r \sin \varphi \\
& z=z
\end{cases}$ $\left | J \right |=r$.
Khi đó phần giao của 2 miền đã cho trở thành miền $\Omega' =\left \{ (r,\varphi ,z) \left|\begin{matrix}
0 \le \varphi \le 2\pi\\ 0 \le r \le 1\\ 1-r \le z \le \sqrt{1-r^2}

\end{matrix}\right. \right \}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]