Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với tích phân

Raul Chavez · 06-11-2012, 04:58 PM

Bạn nào chứng minh hộ mình Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với tích phân cái,cảm ơn nhiều

**novae** · 06-11-2012, 05:20 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Raul Chavez

Bạn nào chứng minh hộ mình Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với tích phân cái,cảm ơn nhiều

Để ý rằng không gian $C[a,b]$ các hàm thực liên tục trên $[a,b]$ là một không gian Euclid với tích vô hướng được xác định bởi
$$ \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) \, \mathrm{d}x. $$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tổng quát
$$ |\langle \alpha,\beta \rangle| \le |\alpha||\beta|, $$
ta suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng tích phân.

Một cách khác như sau : Ta phân hoạch đều đoạn $[a,b]$ thành $n$ đoạn nhỏ. Sau đó xét tổng Riemann của $f^2,g^2$ và $fg$ đối với phân hoạch này. Từ đó áp dụng bất đẳng thức C-S cho các bộ số thực (đây cũng chỉ là một trường hợp riêng của bất đẳng thức C-S tổng quát với tích vô hướng chính tắc trên $\mathbb{R}^n$), ta cũng suy ra được bất đẳng thức C-S dạng tích phân.

Raul Chavez · 06-11-2012, 05:25 PM

Cách này em không hiểu gì cả,vì em mới học lớp 12.Bài này có cách nào làm bằng kiến thức cấp 3 không ạ?

**novae** · 06-11-2012, 05:32 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Raul Chavez

Cách này em không hiểu gì cả,vì em mới học lớp 12.Bài này có cách nào làm bằng kiến thức cấp 3 không ạ?

Mới học lớp 12 sao bạn lại hỏi về bất đẳng thức tích phân và post vào box đại học?

Nếu đang học lớp 12 thì bạn gặp bất đẳng thức tích phân trong trường hợp nào? Thường thì trong chương trình THPT đâu có đả động đến bất đẳng thức tích phân?

Cách thứ hai (áp dụng tổng Riemann và bất đẳng thức C-S trên $\mathbb{R}^n$) có lẽ là cách dễ hiểu nhất đối với chương trình THPT. Tuy nhiên cũng cần phải biết về bất đẳng thức C-S cho các bộ số thực và nắm vững khái niệm tổng Riemann.

levietbao · 06-11-2012, 05:35 PM

Ý tưởng chứng minh tương tự như đối với bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đại số

Giả thiết các hàm số $f(x),g(x)$ là liên tục trên đoạn $[a,b]$
Xét tam thức bậc hai $$(\lambda f(x)+g(x))^2=\lambda^2f^2(x)+2\lambda f(x)g(x)+g^2(x)\geq 0$$
Lấy tích phân hai vế trên đoạn $[a,b]$ cho hai hàm số $f(x),g(x)$ ta có $$\lambda^2\int_{a}^{b}f^2(x)dx +2\lambda\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx+\int_{a}^{b}g^2(x) dx\geq 0$$
Vì tam thức bậc hai trên không âm nên $\Delta\leq 0$ hay
$$\Delta\leq 0\iff (\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2-(\int_{a}^{b}f^2(x)dx)(\int_{a}^{b}g^2(x)dx) \leq 0$$
Hay $$(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leq (\int_{a}^{b}f^2(x)dx)(\int_{a}^{b}g^2(x)dx) $$
Bài toán được giải xong.

yeuthuong08 · 06-11-2012, 08:00 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Raul Chavez

Cách này em không hiểu gì cả,vì em mới học lớp 12.Bài này có cách nào làm bằng kiến thức cấp 3 không ạ?

Ở đại học họ cũng chứng minh cái bất đẳng thức tổng quát kia bằng tam thức bậc hai em ạ.

TBN_146 · 06-11-2012, 10:57 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

Một cách khác như sau : Ta phân hoạch đều đoạn $[a,b]$ thành $n$ đoạn nhỏ. Sau đó xét tổng Riemann của $f^2,g^2$ và $fg$ đối với phân hoạch này. Từ đó áp dụng bất đẳng thức C-S cho các bộ số thực (đây cũng chỉ là một trường hợp riêng của bất đẳng thức C-S tổng quát với tích vô hướng chính tắc trên $\mathbb{R}^n$), ta cũng suy ra được bất đẳng thức C-S dạng tích phân.

Chắc ý anh Minh là thế này:
Ta sử dụng định nghĩa của tích phân:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{k}{n}(b-a) \right )$

Bây giờ ta áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz cho 2 dãy số $f\left ( a+\frac{k}{n}(b-a) \right ),g\left ( a+\frac{k}{n}(b-a) \right ), k={1,2,...,n}$ là sẽ suy ra ngay dạng tích phân của nó.

Cũng bằng cách này mà từ các BĐT sơ cấp như Chebyshev, Minkowski, trung bình lũy thừa có thể suy ra dạng tích phân tương ứng.

BlackBerry® Bold™ · 09-11-2012, 02:06 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Raul Chavez

Cách này em không hiểu gì cả,vì em mới học lớp 12.Bài này có cách nào làm bằng kiến thức cấp 3 không ạ?

Lớp 12 mà đã học KG Véc Tơ vs Bđt tích phân. Xác định trượt đh cmnr

.

06-11-2012, 04:58 PM	#1
Raul Chavez +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Москва-Россия(Российская Федерация) Bài gởi: 85 Thanks: 164 Thanked 19 Times in 14 Posts	Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với tích phân Bạn nào chứng minh hộ mình Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với tích phân cái,cảm ơn nhiều

06-11-2012, 05:25 PM	#3
Raul Chavez +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Москва-Россия(Российская Федерация) Bài gởi: 85 Thanks: 164 Thanked 19 Times in 14 Posts	Cách này em không hiểu gì cả,vì em mới học lớp 12.Bài này có cách nào làm bằng kiến thức cấp 3 không ạ?

06-11-2012, 05:35 PM	#5
levietbao +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Bài gởi: 359 Thanks: 104 Thanked 1,212 Times in 214 Posts	Ý tưởng chứng minh tương tự như đối với bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đại số Giả thiết các hàm số $f(x),g(x)$ là liên tục trên đoạn $[a,b]$ Xét tam thức bậc hai $$(\lambda f(x)+g(x))^2=\lambda^2f^2(x)+2\lambda f(x)g(x)+g^2(x)\geq 0$$ Lấy tích phân hai vế trên đoạn $[a,b]$ cho hai hàm số $f(x),g(x)$ ta có $$\lambda^2\int_{a}^{b}f^2(x)dx +2\lambda\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx+\int_{a}^{b}g^2(x) dx\geq 0$$ Vì tam thức bậc hai trên không âm nên $\Delta\leq 0$ hay $$\Delta\leq 0\iff (\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2-(\int_{a}^{b}f^2(x)dx)(\int_{a}^{b}g^2(x)dx) \leq 0$$ Hay $$(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leq (\int_{a}^{b}f^2(x)dx)(\int_{a}^{b}g^2(x)dx) $$ Bài toán được giải xong.