Ứng dụng tính trù mật, khảo sát sự liên tục của hàm số.

[minhquan9909]

Khảo sát tính liên tục của hàm $f(x)$ biết: $$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 (x \in Q) &\\ x (x \in R-Q)\end{matrix}\right.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi minhquan9909

Khảo sát tính liên tục của hàm $f(x)$ biết: $$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 (x \in Q) &\\ x (x \in R-Q)\end{matrix}\right.$$

$x_0=0 $ ( hay 1), mọi dãy hội tụ về $x_0 $, ta đều có $\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(x_0) $. Nên liên tục tại hai điểm này!
Ta chứng minh: Nó không liên tục tài môi điểm khác $0, 1 $.

Xét $x_0\neq 0, 1 $. Ta có thể xây dựng dãy$ y_n\in Q, z_n\in R- Q $ sao cho $\lim_{n\to \infty}y_n=x_0=\lim_{n\to \infty}z_n. $
Tuy nhiên,
$\lim_{n\to \infty} f(y_n)=\lim_{n\to \infty}y_n^2=x^2\neq x=\lim_{n\to \infty}z_n=\lim_{n\to \infty}f(x_n). $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]