Hai bài bất đẳng thức

0099 · 26-11-2012, 10:30 PM

1. Chứng minh với $k=n-1 $ :
$\sum_{i=1}^{n}a_{i} \cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}\geqslant n^{2}+k\left [ \frac{(n-1).\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}{\sum_{i< j}^{n}a_{i}a_{j}} -2\right ] $
Trong đó $a_{i} $ $(n\geqslant 3) $ là số thực dương

2. (IMO Short List 2004) $(ab+bc+ca=1,a,b,c> 0) $ chứng minh :
$\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leqslant \frac{1}{abc} $

NguyenThanhThi · 26-11-2012, 10:42 PM

Bài 2
Sử dụng cauchy như sau:

$$\sqrt[3]{27(\frac{1}{a}+6b)} \le \frac{\frac{1}{a}+6b+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{3}$$

Tương tự cộng theo vế ta có đpcm.

26-11-2012, 10:30 PM	#1
0099 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2012 Bài gởi: 9 Thanks: 5 Thanked 1 Time in 1 Post	Hai bài bất đẳng thức 1. Chứng minh với $k=n-1 $ : $\sum_{i=1}^{n}a_{i} \cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}\geqslant n^{2}+k\left [ \frac{(n-1).\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}{\sum_{i< j}^{n}a_{i}a_{j}} -2\right ] $ Trong đó $a_{i} $ $(n\geqslant 3) $ là số thực dương 2. (IMO Short List 2004) $(ab+bc+ca=1,a,b,c> 0) $ chứng minh : $\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leqslant \frac{1}{abc} $ __________________ [Không Giới Hạn] JVevermore

26-11-2012, 10:42 PM	#2
NguyenThanhThi +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: 12T THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu,Thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Bài gởi: 635 Thanks: 228 Thanked 451 Times in 213 Posts	Bài 2 Sử dụng cauchy như sau: $$\sqrt[3]{27(\frac{1}{a}+6b)} \le \frac{\frac{1}{a}+6b+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{3}$$ Tương tự cộng theo vế ta có đpcm. Ngoài ra có thể dùng Holder $$\left(\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\right)^3\leq (1+6ab+1+6bc+1+6ca)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ 1}{c})(1+1+1)=\frac{27}{abc}=\frac{27ab.bc.ca}{a^3 b^3c^3}\leq \frac{1}{(abc)^3}$$ __________________ Cuộc sống luôn diệu kì thay đổi nội dung bởi: NguyenThanhThi, 26-11-2012 lúc 10:58 PM