[Cần giúp đỡ]Một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

1243_cbn · 13-06-2011, 08:08 PM

Chào mọi người!
Mình đang cần tìm hiểu thêm về một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức có điều kiện. Ví dụ như:
1)Cho 3 số a;b;c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1 $
Khi đó tồn tại bộ 3 số dương x;y;z sao cho:
$a=\sqrt{\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}};b=\sqrt{\frac{y^2} {(x+y)(y+z)}};c=\sqrt{\frac{z^2}{(z+y)(x+z)}} $
2)Cho 3 số a;b;c dương thỏa mãn: $ab+bc+ca+2abc=1 $
Khi đó tồn tại bộ 3 số dương x;y;z sao cho:
$a=\frac{x}{y+z};b=\frac{y}{z+x}+c=\frac{z}{x+y} $
Cám ơn mọi người!!

**huynhcongbang** · 14-06-2011, 12:39 AM

Các phép đặt đó được dùng đối với những biểu thức dạng đặc trưng tạo thành những quan hệ đơn giản. Chẳng hạn như nếu có $xyz=1 $ thì tồn tại $a, b, c $ khác 0 mà $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a} $.

Một VD nữa là các BĐT có chứa $\frac{a-b}{a+b},\frac{b-c}{b+c},\frac{c-a}{c+a} $ thì nếu đặt lần lượt các biểu thức đó là x,y,z thì $xy+yz+zx=-1 $.
Theo mình nhớ thì anh Cẩn cũng có viết một bài trên THTT về việc dùng các hằng đẳng thức để chứng minh BĐT như bạn nêu.
Các BĐT của anh Đào Hải Long là một VD minh họa.

Bạn có thể xem một VD trong đề VN TST 2009 cũng có bài BĐT như thế:
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=11503

asdfghj · 14-06-2011, 06:50 AM

Trích:

Nguyên văn bởi 1243_cbn

Chào mọi người!
Mình đang cần tìm hiểu thêm về một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức có điều kiện. Ví dụ như:
1)Cho 3 số a;b;c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1 $
Khi đó tồn tại bộ 3 số dương x;y;z sao cho:
$a=\sqrt{\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}};b=\sqrt{\frac{y^2} {(x+y)(y+z)}};c=\sqrt{\frac{z^2}{(z+y)(x+z)}} $
2)Cho 3 số a;b;c dương thỏa mãn: $ab+bc+ca+2abc=1 $
Khi đó tồn tại bộ 3 số dương x;y;z sao cho:
$a=\frac{x}{y+z};b=\frac{y}{z+x}+c=\frac{z}{x+y} $
Cám ơn mọi người!!

Ý tưởng đặt như bài 1 có lẽ xuất phát từ đẳng thức lượng giác: $cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1 $

khaitang1234 · 14-06-2011, 07:39 AM

Mình cũng có biết 1 số cái như:
1, Cho $x,y,z>0 $ và $xyz=x+y+z+2 $
Ta có thể đặt $a=\frac{1}{x+1},b=\frac{1}{y+1},c=\frac{1}{z+1} $
Khi đó: $a+b+c=1 $ và $x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c} $
2,Cho $a,b,c $ thoả mãn $a+b+c+abc=0 $
khi đó đặt:
$a=\frac{x-y}{x+y},b=\frac{y-z}{y+z},c=\frac{z-x}{z+x} $
Ngoài ra bạn nên tiìm thêm các đẳng thức từ đó thì sẽ tìm được các cách đặt phù hợp.

13-06-2011, 08:08 PM	#1
1243_cbn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Đến từ: No where Bài gởi: 11 Thanks: 8 Thanked 3 Times in 2 Posts	[Cần giúp đỡ]Một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức có điều kiện Chào mọi người! Mình đang cần tìm hiểu thêm về một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức có điều kiện. Ví dụ như: 1)Cho 3 số a;b;c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+2abc=1 $ Khi đó tồn tại bộ 3 số dương x;y;z sao cho: $a=\sqrt{\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}};b=\sqrt{\frac{y^2} {(x+y)(y+z)}};c=\sqrt{\frac{z^2}{(z+y)(x+z)}} $ 2)Cho 3 số a;b;c dương thỏa mãn: $ab+bc+ca+2abc=1 $ Khi đó tồn tại bộ 3 số dương x;y;z sao cho: $a=\frac{x}{y+z};b=\frac{y}{z+x}+c=\frac{z}{x+y} $ Cám ơn mọi người!! __________________ Mai tôi chết ai là người xây mộ Ai là người lặng lẽ tiễn đưa tôi thay đổi nội dung bởi: 1243_cbn, 13-06-2011 lúc 08:13 PM

14-06-2011, 12:39 AM	#2
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Các phép đặt đó được dùng đối với những biểu thức dạng đặc trưng tạo thành những quan hệ đơn giản. Chẳng hạn như nếu có $xyz=1 $ thì tồn tại $a, b, c $ khác 0 mà $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a} $. Một VD nữa là các BĐT có chứa $\frac{a-b}{a+b},\frac{b-c}{b+c},\frac{c-a}{c+a} $ thì nếu đặt lần lượt các biểu thức đó là x,y,z thì $xy+yz+zx=-1 $. Theo mình nhớ thì anh Cẩn cũng có viết một bài trên THTT về việc dùng các hằng đẳng thức để chứng minh BĐT như bạn nêu. Các BĐT của anh Đào Hải Long là một VD minh họa. Bạn có thể xem một VD trong đề VN TST 2009 cũng có bài BĐT như thế: http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=11503

14-06-2011, 07:39 AM	#4
khaitang1234 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 81 Thanks: 86 Thanked 96 Times in 53 Posts	Mình cũng có biết 1 số cái như: 1, Cho $x,y,z>0 $ và $xyz=x+y+z+2 $ Ta có thể đặt $a=\frac{1}{x+1},b=\frac{1}{y+1},c=\frac{1}{z+1} $ Khi đó: $a+b+c=1 $ và $x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c} $ 2,Cho $a,b,c $ thoả mãn $a+b+c+abc=0 $ khi đó đặt: $a=\frac{x-y}{x+y},b=\frac{y-z}{y+z},c=\frac{z-x}{z+x} $ Ngoài ra bạn nên tiìm thêm các đẳng thức từ đó thì sẽ tìm được các cách đặt phù hợp.