Giải tích M1, học kỳ 1

[99]

Theo như 99 quan sát thì có vẻ là những môn Toán từ M1 trở xuống thì bất kỳ giảng viên nào cũng có thể dậy được, vậy nên nội dung cũng hơi khác nhau, bởi vì mỗi giảng viên có mặt mạnh mặt yếu khác nhau. Thế nên nội dung bàn ở đây có tính tham khảo định hướng là nhiều, có môn thì nắm được 75% kiến thức là khủng khiếp (vì môn ý do chuyên gia của ngành dậy), nhưng cũng có môn nắm được 95% là bình thường (vì môn ý không phải do chuyên gia dạy), nhưng các bạn yên tâm về tính chuẩn kiến thức.

Môn đầu tiên 99 đề cập là môn giải tích M1, học kỳ 1. Kiến thức gồm 4 phần :
I. Không gian lồi địa phương.
1. Topo định nghĩa bởi một họ nửa chuẩn.
2. Ánh xạ tuyến tính liên tục.
3. Tiêu chuẩn metric hóa được, không gian Frechet. Các không gian Frechet quan trọng là không gian các hàm khả vi lớp $C^k$, không gian các hàm thử (test function) $\mathcal{D}(\Omega),$ không gian các hàm chỉnh hình trên một tập mở của $\mathbb{C}^n.$
4. Tập con bị chặn, tập compact, định lý Ascoli, tính chất Montel.

II. Các nguyên lý cơ bản.
1. Định lý Baire (về phạm trù).
2. Định lý ánh xạ mở, định lý đồ thị đóng, định lý Banach-Steinhaus.

III. Chuỗi Fourier.
1. Định lý Stone-Weierstrass.
2. Cơ sở Hilbert (mỗi không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn tối đại).
3. Chuỗi Fourier, các định lý hội tụ, định lý Fejer.

IV. Đối ngẫu.
1.Các định lý Hahn-Banach.
2. Topo yếu liên kết với một đối ngẫu.
3. Đối ngẫu của các không gian Banach : định lý Alaoglu, các không gian phản xạ (tính compact dãy yếu), phiếm hàm lồi nửa liên tục dưới.

Bình luận:
Các cuốn sách về giải tích hàm có thể dùng để tham khảo :
- Rudin, Functional Analysis.
- Meise, Vogt, Functional Analysis.
- Schaefer, Topological vector spaces.
- Grothendieck, Topological vector spaces.
- Reed, Simon, methods of modern mathematical physics I : Functional Analysis.
- Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm tập II.
- Conway, A Course in Functional Analysis.

Cuốn của Meise, Vogt được dùng để dậy cho cao học quốc tế và 99 nghĩ là cuốn ý đầy đủ kiến thức cơ bản cho sinh viên Toán ở bất kỳ ngành nào. Nếu không đọc cuốn ý thì ta có thể nhặt mỗi cuốn một ít. Cuốn của Rudin 4 chương đầu rất phù hợp, chương 5 cho một ít ứng dụng khá thú vị. Cuốn của Schaefer, của Grothendieck và của thầy Khuê-Hải thì rất nặng lý thuyết trừu tượng. Chẳng hạn dùng lọc để định nghĩa hội tụ, không gian đều, làm đầy không gian đều, topo pô-la v.v. đó là những khái niệm có phần khó khăn và gây sợ cho người mới học. Rudin tránh hết những chuyện đó, cho nên rất phù hợp cho bạn nào mới học.

Tuy nhiên cuốn của thầy Khuê-Hải trình bày phần lý thuyết cặp đối ngẫu khá là ngắn gọn, dùng để tham khảo cũng khá tiện.

Cuốn của Schaefer và Grothendieck thì bạn nào tò mò muốn tìm hiểu sâu thì có thể đọc, tuy nhiên còn rất nhiều cuốn khác về giải tích hàm mà 99 không biết hoặc không đề cập.

Cuốn của Reed-Simon khá là dễ đọc, tuy nhiên có nhiều kết quả lại không có chứng minh. Mặc dù vậy, 99 nghĩ đây là cuốn sách rất đáng để đọc.

Cuốn của Conway cũng là một cuốn rất hay, có nhiều chủ đề thú vị.

----------
Topic tổng quan : [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]