$f(x+y)+f(x)f(-y)=f(x)+f(y)-f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R}$

[bachhammer]

Tìm tất cả các hàm f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)+f(x)f(-y)=f(x)+f(y)-f(xy), \forall x,y\in \mathbb{R}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi bachhammer

Tìm tất cả các hàm f: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)+f(x)f(-y)=f(x)+f(y)-f(xy), \forall x,y\in \mathbb{R}$

Một cách giải, bạn xem thử có sai sót chỗ nào không nhé!
Dễ thấy rằng $f(x)=0$ là một hàm cần tìm.
Xét trường hợp $f(x)\ne 0$.
Thế $y=0$ ta có: $f(x)+f(x).f(0)=f(x)+f(0)-f(0)\Rightarrow f(0)=0$.
Thế $y=-x$ ta có: $f^2(x)=f(x)+f(-x)-f(-x^2)\ (1)$
Thế $x=-y$ ta có: $f^2(-y)=f(-y)+f(y)-f(-y^2)$ hay $f^2(-x)=f(-x)+f(x)-f(-x^2)\ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $f^2(x)-f^2(-x)=0$ hay $[f(x)-f(-x)][f(x)+f(-x)]=0\ (3)$.

Gọi $X$ là tập các $x\in\mathbb R$ sao cho $f(x)=f(-x)$.
Từ phương trình hàm ban đầu, thế $y=x$ ta có: $f(2x)+f^2(x)=2f(x)-f(x^2)=f^2(x)\Rightarrow f(2x)=0$ vô lý.
Hay tập $X$ bằng rỗng. Do đó từ $(3)$ suy ra $f(x)=-f(-x)$ $\forall x\in\mathbb R$, hay $f$ là hàm lẻ.
Từ phương trình hàm ban đầu ta có:
$f(x+y)-f(x)f(y)=f(x)+f(y)-f(xy)$ và $f(x-y)+f(x)f(y)=f(x)-f(y)+f(xy)$
Suy ra: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$, suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
và $f(xy)=f(x).f(y)\ (*)$. Do $f$ lẻ và $(*)$ nên $f(x)\ge 0, \forall x\ge 0$.
Từ ta có $f(x)=f(1)x$.

Vậy tất cả các hàm cần tìm là $f(x)=0$ hoặc $f(x)=ax$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nguyên văn bởi tranphongk33

Một cách giải, bạn xem thử có sai sót chỗ nào không nhé!
Dễ thấy rằng $f(x)=0$ là một hàm cần tìm.
Xét trường hợp $f(x)\ne 0$.
Thế $y=0$ ta có: $f(x)+f(x).f(0)=f(x)+f(0)-f(0)\Rightarrow f(0)=0$.
Thế $y=-x$ ta có: $f^2(x)=f(x)+f(-x)-f(-x^2)\ (1)$
Thế $x=-y$ ta có: $f^2(y)=f(y)+f(-y)-f(-y^2)$ hay $f^2(x)=f(x)+f(-x)-f(-x^2)\ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $f^2(x)-f^2(-x)=0$ hay $[f(x)-f(-x)][f(x)+f(-x)]=0 \Leftrightarrow f(x)=f(-x)\ \vee f(x)=-f(-x)$.

Trường hợp: $f(x)=f(-x)$ thì $f$ là hàm chẵn.
Từ phương trình hàm ban đầu, thế $y=x$ ta có: $f(2x)+f^2(x)=2f(x)-f(x^2)=f^2(x)\Rightarrow f(2x)=0$ vô lý.
Vậy trường hợp này không xảy ra.

Trường hợp: $f(x)=-f(-x)$ thì $f$ là hàm lẻ.
Từ phương trình hàm ban đầu ta có:
$f(x+y)-f(x)f(y)=f(x)+f(y)-f(xy)$
và $f(x-y)+f(x)f(y)=f(x)-f(y)+f(xy)$
Suy ra: $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)$, suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
và $f(xy)=f(x).f(y)\ (*)$. Do $f$ lẻ và $(*)$ nên $f(x)\ge 0, \forall x\ge 0$.
Từ ta có $f(x)=f(1)x$.

Vậy tất cả các hàm cần tìm là $f(x)=0$ hoặc $f(x)=ax$.

Chỗ bôi đỏ sai bạn à.Khi đó tập $\mathbb{R}$ được phân thành $2$ tập con$X,Y$,với $x \in X$ thì $f(x)=f(-x)$ còn $y \in Y$ thì $f(y)=-f(y)$ nên không thể suy như vậy được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi mathandyou

Chỗ bôi đỏ sai bạn à.Khi đó tập $\mathbb{R}$ được phân thành $2$ tập con$X,Y$,với $x \in X$ thì $f(x)=f(-x)$ còn $y \in Y$ thì $f(y)=-f(y)$ nên không thể suy như vậy được.

Mình đã khắc phục chỗ đó, bạn mathandyou xem thử đã được chưa nhé!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Theo mình bạn chỉ cần giả sử có số $a $ khác 0 nào đó thỏa mãn $f(a)=f(-a) $. rồi làm như bạn sẽ ra không có số $a $ nào thỏa mãn nên chỉ cần xét TH còn lại .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi tranhongviet

Theo mình bạn chỉ cần giả sử có số $a $ khác 0 nào đó thỏa mãn $f(a)=f(-a) $. rồi làm như bạn sẽ ra không có số $a $ nào thỏa mãn nên chỉ cần xét TH còn lại .

Mình đã khắc phục rồi đó. Đúng là không thể từ đẳng thức $[f(x)-f(-x)][f(x)+f(-x)]=0$ có thể suy ra thẳng kết quả.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Nguyên văn bởi tranphongk33

Mình đã khắc phục rồi đó. Đúng là không thể từ đẳng thức $[f(x)-f(-x)][f(x)+f(-x)]=0$ có thể suy ra thẳng kết quả.

bạn khắc phục nhưng mình nghĩ là vẫn không được nói thẳng rằng ta có 2 TH như trên đâu.( vì theo ý của Mathandyou ý).mặc dù kết quả ko sai.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[bachhammer]

Mình xin làm khó bài toán thêm một tí nhá..... Bây giờ ta thay đổi ánh xạ thành:
$f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$, trong đó $\mathbb{R}^*$ là tập hợp các số thực khác 0.....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]