Topic về bất đẳng thức (2) - Page 4

birain9x · 13-07-2011, 12:29 PM

Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1.CMR
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1 $

first_sunshine · 13-07-2011, 12:58 PM

Cho a,b,c >0.CMR:
$\frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+c^{3} }+\frac{c^{4}}{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2} $

innocent · 13-07-2011, 01:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi first_sunshine

Cho a,b,c >0.CMR:
$\frac{a^{4}}{a^{3}+c^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+c^{3} }+\frac{c^{4}}{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2} $

Bạn xem kĩ lại đề hộ mình với nhé!

daiduong1095 · 13-07-2011, 01:23 PM

Trích:

Nguyên văn bởi birain9x

Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1.CMR
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1 $

Thay bộ số $(x,y,z) $ bằng bộ $(x^2,y^2,z^2) $ ta vẫn có $xyz=1 $.
Ta có ngay:
$(x^2+x+1)^2-x^4-7x^2-1=2x(x-1)^2 \ge 0 $
$\Rightarrow \sqrt{x^4+7x^2+1} \le x^2+x+1 $
Khi đó:
$\sum{\frac{1}{ \sqrt{x^4+7x^2+1}} \ge \sum \frac{1}{x^2+x+1} \ge 1 $

Nguyenhuyen_AG · 13-07-2011, 01:51 PM

Với $a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\ge4\sqrt{ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}} $

cristiano_rona · 13-07-2011, 02:34 PM

Cho a,b,c là các số thực không âm sao cho $ab+bc+ca+abc=4 $
$\sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ca} + \sqrt {c + ab} \ge (1 + \sqrt 2 )\sqrt {ab + bc + ca} $

**truongvoki_bn** · 13-07-2011, 05:58 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG

Với $a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\ge4\sqrt{ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}} $

Anh thử dùng cái này xem được không?

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3.\sqrt[3]{(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^2} $

Còn nếu điều kiện $a;b;c $ là độ dài ba cạnh tam giác thì dùng cái này cho dễ chịu:

$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 1+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} $.

DaiToan · 13-07-2011, 06:31 PM

Bất đẳng thức chứa phần nguyên và phần lẻ.
Cho $x $ là số thực dương. Chứng minh rằng:

$\displaystyle \sqrt{\frac{\{x\}}{x+[x]}}+\sqrt{\frac{[x]}{x+\{x\}}}\ge1 $

Trích:

Mod: Công thức thầy (cô) chỉ cần bao thẻ TEX là được không cần phải thêm $$
Thân.

**truongvoki_bn** · 13-07-2011, 06:40 PM

Trích:

Nguyên văn bởi daitoancvp

Bất đẳng thức chứa phần nguyên và phần lẻ.
Cho x là số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\sqrt {\frac{{\left[ x \right]}}{{x + \left\{ x \right\}}}} + \sqrt {\frac{{\left\{ x \right\}}}{{x + \left[ x \right]}}} \ge 1$ $

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $\{ x \} =0 $ dễ có đpcm.

Trường hợp 2: $\{ x \} \ne 0 $

Đặt $\{ x \}=a; [x] =b $ ($a;b>0 $)

Đặt $\frac{a}{b}=y> 0 $
Khi đó bất đẳng thức trở thành:
$\sqrt{\frac{1}{2y+1}}+\sqrt{\frac{y}{2+y} $
Xét hàm $f(y)=\sqrt{\frac{1}{2y+1}}+\sqrt{\frac{y}{2+y} $ với $y>0 $
Dễ thấy $f(y) $ đồng biến trên khoảng đó
$\Rightarrow f(y)>f(0)=1 $

Kết hợp 2 trường hợp ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x $ là số nguyên dương

je.triste · 13-07-2011, 07:28 PM

Cho các số thực dương $a;b;c $ thỏa mãn $ab+bc+ca=1 $.
Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2 +bc+1}+\frac{1}{b^2+ca+1} +\frac{1}{c^2+ab+1} \le \frac{9}{5} $

nam7a · 13-07-2011, 07:41 PM

4 bài trên VMF

1.Cho a,b,c >0 và abc=1.Tìm MIN
$\frac{\sqrt{a}}{b+17}+\frac{\sqrt{b}}{c+17}+\frac{ \sqrt{c}}{a+17} $
2.Cho a,b,c>0: abc=1. CMR:
$\frac{a^3}{(b+c)^2+2}+\frac{b^3}{(c+a)^2+2}+\frac{ c^3}{(a+b)^2+2} \ge \frac{1}{2} $
3.Cho x,y,z > 0. CMR:
$\frac{y^2z^2}{4(zx+y^2)+4(zx+yz)^2+(y+z)^4}+\frac{ z^2x^2}{4(xy+z^2)+4(xy+zx)^2+(z+x)^4}+\frac{x^2y^2 }{4(yz+x^2)+4(yz+xy)^2+(x+y)^4} \le \frac{1}{16} $
4.:Cho x,y,z > 0 thỏa x+y+z=1. CMR:
$\frac{x^3+3x^2y+5xy^2+7y^3}{x^2+3xy+5y^2}+\frac{y^ 3+3y^2z+5yz^2+7z^3}{y^2+3yz+5z^2}+\frac{z^3+3z^2x+ 5zx^2+7x^3}{z^2+3zx+5x^2} \ge \frac{144}{81} $

DaiToan · 13-07-2011, 08:37 PM

Cho $a,b,c $ dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{{3abc}}{{2(ab + bc + ca)^2 }} \ge \dfrac{5}{{a + b + c}} $

daiduong1095 · 13-07-2011, 08:47 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Nguyenhuyen_AG

Với $a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\ge4\sqrt{ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}} $

Theo BDT AM-GM ta có:$3x^{\frac{2}{3}}+1\ge 4x^{\frac{1}{2}} $
Do vậy ta chỉ cần cm bdt sau:

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Anh thử dùng cái này xem được không?

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3.\sqrt[3]{(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^2} $

Ta có:$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^3 \ge \frac{27}{4} \left(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab} +1 \right) $
Do đó ta sẽ phải cm:$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1 \ge 4(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^2 $
$\Leftrightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3 \ge 4(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^2-4 $
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\left(\frac{a+b+c}{abc}- \frac{4(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)^2}\right ) \ge 0 $

Giả sử c min thì :
$\frac{a+b+c}{abc}- \frac{4(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)^2} \ge \frac{a+b+c}{abc}- \frac{4(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{4ab(ca+cb)} =\frac{ab-c^2}{abc(a+b)} \ge0 $

Suy ra đpcm.

king_math96 · 13-07-2011, 09:21 PM

Trích:

Nguyên văn bởi nam7a

4 bài trên VMF

1.Cho a,b,c >0 và abc=1.Tìm MIN
$\frac{\sqrt{a}}{b+17}+\frac{\sqrt{b}}{c+17}+\frac{ \sqrt{c}}{a+17} $
2.Cho a,b,c>0: abc=1. CMR:
$\frac{a^3}{(b+c)^2+2}+\frac{b^3}{(c+a)^2+2}+\frac{ c^3}{(a+b)^2+2} \ge \frac{1}{2} $
3.Cho x,y,z > 0. CMR:
$\frac{y^2z^2}{4(zx+y^2)+4(zx+yz)^2+(y+z)^4}+\frac{ z^2x^2}{4(xy+z^2)+4(xy+zx)^2+(z+x)^4}+\frac{x^2y^2 }{4(yz+x^2)+4(yz+xy)^2+(x+y)^4} \le \frac{1}{16} $
4.:Cho x,y,z > 0 thỏa x+y+z=1. CMR:
$\frac{x^3+3x^2y+5xy^2+7y^3}{x^2+3xy+5y^2}+\frac{y^ 3+3y^2z+5yz^2+7z^3}{y^2+3yz+5z^2}+\frac{z^3+3z^2x+ 5zx^2+7x^3}{z^2+3zx+5x^2} \ge \frac{144}{81} $

Chém câu dễ trước vậy.
2/
Theo C-S ta có: $\frac{a^3}{(b+c)^2+2}+\frac{b^3}{(c+a)^2+2}+\frac{ c^3}{(a+b)^2+2} \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum{a(b+c)^2+2a}}. $
Do đó ta cần cm:
$2(a^2+b^2+c^2)^2 \geq \sum{a(b+c)^2+2a} $
tương đương với:
$2(a^4+b^4+c^4)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq \sum{a(b^2+c^2)}+2(a+b+c)+6 $
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do các bất đẳng thức sau:
$+) 2(a^4+b^4+c^4) \geq 2(a^3+b^3+c^3) \geq \sum{a(b^2+c^2)} $
$+) a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)=a+b+c $
$+)a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 3 $

khtoan · 13-07-2011, 09:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi first_sunshine

Cho a,b,c >0.CMR:
$\frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+c^{3} }+\frac{c^{4}}{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2} $

Nhân vế theo vế với $a^3+b^3+c^3 $ ta đi chứng minh

$\sum a^4+\sum \frac{c^3a^4}{a^3+b^3}\geq \frac{\sum a.\sum a^3}{2} $

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz và AM-GM:

$\sum \frac{c^3a^4}{a^3+b^3}\geq\frac{(\sum c^2a^2)^2}{\sum c(a^3+b^3)}\geq \sum c^2a^2-\frac{1}{4}\sum c(a^3+b^3) $

Vậy ta chỉ cần cm được:

$\sum a^4+\sum a^2b^2-\frac{\sum a(b^3+c^3)}{4}\geq \frac{\sum a.\sum a^3}{2} $

Điều này tương đương với

$2(a^4+b^4+c^4)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 3ab(a^2+b^2)+3bc(b^2+c^2)+3ca(c^2+a^2) \Leftrightarrow \sum (a^2-ab+b^2)(a-b)^2\geq 0
$ (Đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c $
------------------------------

Trích:

Nguyên văn bởi daitoancvp

Cho $a,b,c $ dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{{3abc}}{{2(ab + bc + ca)^2 }} \ge \dfrac{5}{{a + b + c}} $

Nhân $a+b+c $ 2 vế ,ta được bdt tương đương sau
$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{3abc(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)^2}\ge q 2 $
Theo AM-GM và bổ đề $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca) $
Ta có ngay

$\frac{3abc(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)^2}\geq \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} $

Vậy ta chỉ cần chứng minh

$\sum \frac{a}{b+c}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2
$ (Đúng theo Schur dạng phân thức )

Vậy bài toán được cm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c $

13-07-2011, 12:58 PM	#47
first_sunshine +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Bài gởi: 17 Thanks: 11 Thanked 4 Times in 2 Posts	Cho a,b,c >0.CMR: $\frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{4}}{b^{3}+c^{3} }+\frac{c^{4}}{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2} $ thay đổi nội dung bởi: first_sunshine, 13-07-2011 lúc 05:45 PM

13-07-2011, 01:51 PM	#50
Nguyenhuyen_AG +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 300 Thanks: 35 Thanked 307 Times in 151 Posts	Với $a,b,c $ là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\ge4\sqrt{ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}} $ __________________ Nguyen Van Huyen Ho Chi Minh City University of Transport

13-07-2011, 02:34 PM	#51
cristiano_rona +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2011 Bài gởi: 13 Thanks: 1 Thanked 2 Times in 2 Posts	Cho a,b,c là các số thực không âm sao cho $ab+bc+ca+abc=4 $ $\sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ca} + \sqrt {c + ab} \ge (1 + \sqrt 2 )\sqrt {ab + bc + ca} $ thay đổi nội dung bởi: HBM, 13-07-2011 lúc 02:37 PM Lý do: Latex

13-07-2011, 07:28 PM	#55
je.triste +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 358 Thanks: 437 Thanked 186 Times in 128 Posts	Cho các số thực dương $a;b;c $ thỏa mãn $ab+bc+ca=1 $. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2 +bc+1}+\frac{1}{b^2+ca+1} +\frac{1}{c^2+ab+1} \le \frac{9}{5} $ __________________ Mathscope... Giá trị đích thực của sự cho đi không nằm ở món quà lớn hay nhỏ, mà nằm ở tầm lòng của người cho!

13-07-2011, 12:29 PM	#46
birain9x +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 119 Thanks: 28 Thanked 41 Times in 23 Posts	Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1.CMR $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+7x+1}}\geq 1 $

13-07-2011, 07:41 PM	#56
nam7a +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 33 Thanks: 5 Thanked 0 Times in 0 Posts	4 bài trên VMF 1.Cho a,b,c >0 và abc=1.Tìm MIN $\frac{\sqrt{a}}{b+17}+\frac{\sqrt{b}}{c+17}+\frac{ \sqrt{c}}{a+17} $ 2.Cho a,b,c>0: abc=1. CMR: $\frac{a^3}{(b+c)^2+2}+\frac{b^3}{(c+a)^2+2}+\frac{ c^3}{(a+b)^2+2} \ge \frac{1}{2} $ 3.Cho x,y,z > 0. CMR: $\frac{y^2z^2}{4(zx+y^2)+4(zx+yz)^2+(y+z)^4}+\frac{ z^2x^2}{4(xy+z^2)+4(xy+zx)^2+(z+x)^4}+\frac{x^2y^2 }{4(yz+x^2)+4(yz+xy)^2+(x+y)^4} \le \frac{1}{16} $ 4.:Cho x,y,z > 0 thỏa x+y+z=1. CMR: $\frac{x^3+3x^2y+5xy^2+7y^3}{x^2+3xy+5y^2}+\frac{y^ 3+3y^2z+5yz^2+7z^3}{y^2+3yz+5z^2}+\frac{z^3+3z^2x+ 5zx^2+7x^3}{z^2+3zx+5x^2} \ge \frac{144}{81} $

13-07-2011, 08:37 PM	#57
DaiToan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 280 Thanks: 29 Thanked 361 Times in 123 Posts	Cho $a,b,c $ dương. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{{3abc}}{{2(ab + bc + ca)^2 }} \ge \dfrac{5}{{a + b + c}} $