Cao học Viện Toán năm 2008 , đợt 1

[n.t.tuan]

Đại Số

1. Kí hiệu $\mathbb{Q}[x] $ là vành đa thức một biến $x $ với hệ số trên trường số hữu tỷ $\mathbb{Q} $. Cho $\alpha=\sqrt[3]{2} $. Đặt $\mathbb{Q}[\alpha]=\{f(\alpha)|f(x)\in\mathbb{Q}[x]\} $.
(i)Chứng minh rằng $\mathbb{Q}[\alpha]=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}|a,b,c\in\mathbb{Q}\} $.
(ii)Chứng minh rằng $\mathbb{Q}[\alpha] $ là một $\mathbb{Q}- $không gian véc tơ. Tìm chiều và một cơ sở của nó.

2. Cho $f:V\to V' $là $K $-tuyến tính. Chứng minh rằng Imf là không gian con của $V' $ và Kerf là không gian con của $V $.

3. Cho $X,Y $ là các nhóm cyclic cấp $m,n $. Chứng minh rằng $X\times Y $ là nhóm cyclic nếu và chỉ nếu $(m,n)=1 $. Từ đó suy ra $\mathbb{Z}_{12} $ và $\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2 $ cùng có cấp $12 $ nhưng không đẳng cấu với nhau.

4. Cho $R $ là một miền nguyên. Chứng minh rằng $R[x] $ là vành chính khi và chỉ khi R là một trường. Suy ra $\mathbb{Q}[x,y] $ không là vành chính.

5. Cho T là tập các ma trận có dạng $\left(\begin{matrix}a&b\\3b&a\end{matrix}\right) $ với $a,b\in\mathbb{Q} $. Chứng minh T là trường với phép cộng và nhân ma trận và $T $ đẳng cấu (trường) với $\mathbb{Q} [\sqrt{3}] $.

Giải Tích

1. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{1+n^5x^2} $ trên $\mathbb{R}. $

2. Cho $A,B $ là hai tập hợp trong không gian metrix $X $. Chứng minh rằng $int\; (A\cap B)=int\; A\cap int\; B. $

3. Cho $X $ là không gian metrix compact.
a)Giả sử $G_1\subset G_2\subset $... là dãy các tập mở trong $X $ để $X=\cup_{i\geq 1}G_i $ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n $ để $X=G_n $
b)Giả sử $f:X\to X $ là ánh xạ liên tục và $\{K_i\}_{i\geq 1} $ là dãy giảm các tập hợp đóng trong $X. $ Chứng minh rằng $f(\cap_{i\geq 1}K_i)=\cap_{i\geq 1}f(K_i) $.

4. Cho $f $ là ánh xạ liên tục từ không gian metrix $X $ vào không gian metrix $Y $. Chứng minh rằng đồ thị của nó là tập đóng trong không gian metrix tích $X\times Y. $

5. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn $X,Y $ và toán tử tuyến tính $A:X\to Y $. Chứng minh rằng ba điều kiện sau là tương đương
a)$A $ liên tục.
b)Ảnh của mỗi dãy hội tụ yếu trong $X $ là dãy hội tụ yếu trong $Y $.
c)Ảnh của mỗi dãy hội tụ mạnh trong $X $ là dãy hội tụ yếu trong $Y $.

6. Cho $\{e_n\} $ là hệ thống trực chuẩn trong không gian Hinbe $H $ và $\{\alpha_n\} $ là một dãy số giới nội. Chứng minh rằng
a)Chuỗi $\sum_{n\geq 1}\alpha_n<x,e_n>e_n $ hội tụ với mỗi $x $ thuộc $H $.
b)Toán tử $Ax=\sum_{n\geq 1}\alpha_n<x,e_n>e_n $ là tuyến tính liên tục và tính $||A|| $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]