Thi cuối kỳ hình học vi phân 2008,ĐHSPHN

[99]

Câu 1: Cho $S $ là đa tạp hai chiều compact trong $E^3 $. Chứng minh tồn tại điểm trong $S $ có độ cong Gauss dương.

Cấu 2: Cho $\{U_1,U_2,U_3\} $ là trường mục tiêu trực chuẩn tương thích với đa tạp hai chiều có hướng $S $ trong $E^3 $ . $O $ là một điểm trong $E^3 $ .
a) Xét các hàm số $\phi_i : S\to\mathbb{R} $ $\phi(p) = \vec{Op}.\vec{U_i}(p) $ $1\leq i\leq 3 $

Chứng minh rằng :
$d\phi_1 =\theta^1+\omega_1^2\phi_2+\omega_1^3\phi_3 $
$d\phi_2 =\theta^2+\omega_2^1\phi_1+\omega_2^3\phi_3 $
trong đó $\theta^1 $ $\theta^2 $ $\omega_i^j $ là các dạng chuyển dời và dạng liên kết trên S trong trường mục tiêu đã cho.
b) Xét các dạng vi phân bậc một trên $S $ là $\theta $ và $\mu $ xác định bởi :
Với $\alpha\in T_pS $ thì $\theta(\alpha)=\vec{Op}.(\alpha\wedge\vec{U_3}(p)) $
$\mu(\alpha)=\theta(h_p(\alpha)) $ ($h_p $ là ánh xạ Weingarten)

Chứng minh rằng :
$d\theta= 2(1+\phi_3H)\theta^1\wedge\theta^2 $
$d\mu = 2(H+\phi_3K)\theta^1\wedge\theta^2 $

Ở đây $H,K $ theo thứ tự là độ cong trung bình, độ cong Gauss của đa tạp $S $

Câu 3: Cho S là một đa tạp hai chiều trong $E^3 $ định hướng bởi trường vector pháp tuyến đơn vị $n $ . Gọi $\{U_1,U_2,U_3\} $ là trường mục tiêu trực chuẩn tương thích với $S $, $\omega_2^1 $ là dạng liên kết trong trường mục tiêu đó. Giả sử $\gamma $ là một cung song chính quy định hướng trên $S $ được tham số hóa tự nhiên bởi $s\to\rho(s)\in S $
Gọi $\phi(s) $ là góc giữa $U_1(\rho(s)) $ và $\rho^'(s) $ và $k_g(s) $ là độ cong trắc địa của $\gamma $ tại $s $. Chứng minh rằng $k_g =\frac{d\phi}{ds} - \omega^1_2(\rho^') $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]