Japanese Mathematical Olympiad 2011

[kaka_math]

1. Cho tam giác $ABC $ nhọn có $H $ là trực tâm và $M $ là trung điểm của $BC $. Hạ $HP $ vuông góc với $AM $. Chứng minh rằng $AM.PM = BM^2 $.

2. Tìm tất cả bộ 5 số nguyên dương $(a, n, p, q, r) $ sao cho $a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1) $.

3. Hai người A và B cùng chơi một trò chơi. Đầu tiên, người A viết một dãy số nguyên không âm $a_1, a_2, ..., a_n $ lên bảng. Sau đó người A nói một số nguyên không âm bất kỳ thì người B thay một số hạng của dãy số bằng số mà người A đã nói. Quá trình này cứ lặp lại liên tục cho đến khi dãy số cuối cùng là dãy tăng theo nghĩa $a_i \leq a_j $ khi và chỉ khi $i \leq j $. Hỏi người B có kết thúc cuộc chơi hay không?

4. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa:
$f(f(x) - f(y)) = f(f(x)) - 2x^2 f(y) + f(y^2), \forall x, y \in \mathbb{R} $.

5. Cho 4 điểm trên mặt phẳng. Giả sử các tam giác có đỉnh là đỉnh của 4 điểm trên có cùng bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng các tam giác trên bằng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]