Đề thi chuyển hệ HKI trường ĐHSP Hà Nội

[chien than]

Ngày thi:16/1/2008
Thời gian:120 phút

Bài 1:
Cho các số $a;b;c $ thuộc tập hợp nghiệm của bất phương trình $|x^2-3x+3| \leq 1 $ và cho các số $m;n $ thuộc tập nghiệm của bất phương trình $|x^2-8x+19| \leq 4 $.Giả sử $a+b+c+m+n=12 $.Tìm giá trị lớn nhất của tích $abcmn $

Bài 2:
Tìm hàm số f:$Q \to R $ thỏa mãn các ĐK sau:
1)$f(x+y)-f(x)-f(y)=2008xy-2007 $ với mọi $x;y \in Q $
2)$f(1)=2007 $


Bài 3:
Cho số nguyên tố $p $ và số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện $np+1 $ là số chính phương.Chứng minh rằng $n+1 $ là tổng của $p $ số chính phương(các số chính phương này có thể bằng nhau)

Bài 4:
Cho tam giác $ABC $ không đều với trọng tâm $G $ và đường tròn nội tiếp $(I).M;N;P $ theo thứu tự là tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp đối diện với các đỉnh $A;B;C $ với các cạnh $BC;CA;AB $

1)Chứng minh rằng $AM;BN;CP $ và $GI $ đồng quy tại một điểm
2)Chứng minh rằng điểm đồng quy nói trong câu 1) thuộc đường tròn $(I) $ khi và chỉ khi
$3a=b+c $ hoặc $3b=c+a $ hoặc $3c=a+b $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]