Topic về bất đẳng thức

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi nguyentrai_oly

Với x,y,z là các số dương lớn hơn 2 và thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 $.
CMR: $xyz + 9\geq 4.(x+y+z) $

Đặt: $x=a+2;y=b+2;c=z+2 $
Khi đó:$a;b;c>0 $ và $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1 $
Cần chứng minh:
$(a+2)(b+2)(c+2)\ge 4(a+b+c)+15 \Leftrightarrow abc+2(ab+bc+ca)\ge 7 $
Từ điều kiện tồn tại 3 số $m;n;p $ sao cho:
$a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{m+p};c=\frac{2p}{n+m} $

Khi đó thay vào, quy đồng rút gọn bất đẳng thức tương đương:
$m(n-p)^2+n(m-p)^2+p(m-n)^2\ge 0 $ (Đúng)
Từ đó ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=3 $
@nguyentrai_oly: Lần sau bạn đặt tiêu đề cho đúng nội quy nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[extremeqx9770]

Cho 2 số thực x, y thoả mãn điều kiện $$\left\{ \begin{array}{l}
x;y \ge 0\\
{x^2} + 2{y^2} = 1
\end{array} \right.$ $
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
$$P = \sqrt {1 + 2x} + \sqrt {1 + 2y} $ $
Các bạn thử làm xem nhé. Mình làm mãi chỉ ra min thôi còn max thì bó tay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi leviethai

Bài 3. Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng

$(2a^2+3)(2b^2+3)(2c^2+3)\ge 125. $

Mấy bài này để lâu chắc có nguy cơ chìm luôn quá . Mình xin giải bài dễ nhất trước:
Không mất tính tổng quát giả sử c là số nằm giữa a và b. Như thế ta có $(b-c)(c-a)\ge 0 $ hay $c^2+ab\le c(a+b) $.
Sử dụng hằng đẳng thức Lagrange:

$(2a^2+3)(2b^2+3)=4a^2b^2+6(a^2+b^2)+9=(3-2ab)^2+6(a+b)^2 $

Ta có: $c^2+2ab\le ab+bc+ca\le 3 $ nên $3-2ab\ge c^2>0 $
Do đó:

$(2a^2+3)(2b^2+3)\ge c^4+6(3-c)^2 $

Việc còn lại là chứng minh:

$(c^4+6(3-c)^2)(2c^2+3)\ge 125 $ với $0<c<3 $

Bất đẳng thức này tương đương:

$(c-1)^2(2c^4+4c^3+21c^2-34c+37)\ge 0 $

Hơn nữa, theo AM-GM:

$2c^4-8c+6\ge 0 $
$4c^3-12c+8\ge 0 $
$7c^2-14c+7\ge 0 $

Điều này có nghĩa biểu thức trong ngoặc luôn dương và ta có đpcm. Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi $a=b=c=1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi MathForLife

Mấy bài này để lâu chắc có nguy cơ chìm luôn quá . Mình xin giải bài dễ nhất trước:
Không mất tính tổng quát giả sử c là số nằm giữa a và b. Như thế ta có $(b-c)(c-a)\ge 0 $ hay $c^2+ab\le c(a+b) $.
Sử dụng hằng đẳng thức Lagrange:

$(2a^2+3)(2b^2+3)=4a^2b^2+6(a^2+b^2)+9=(3-2ab)^2+6(a+b)^2 $

Ta có: $c^2+2ab\le ab+bc+ca\le 3 $ nên $3-2ab\ge c^2>0 $
Do đó:

$(2a^2+3)(2b^2+3)\ge c^4+6(3-c)^2 $

Việc còn lại là chứng minh:

$(c^4+6(3-c)^2)(2c^2+3)\ge 125 $ với $0<c<3 $

Bất đẳng thức này tương đương:

$(c-1)^2(2c^4+4c^3+21c^2-34c+37)\ge 0 $

Hơn nữa, theo AM-GM:

$2c^4-8c+6\ge 0 $
$4c^3-12c+8\ge 0 $
$7c^2-14c+7\ge 0 $

Điều này có nghĩa biểu thức trong ngoặc luôn dương và ta có đpcm. Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi $a=b=c=1 $.

Cám ơn em .

Lời giải của mình, tham khảo thôi.

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trunghau227]

Biết $x+y+z=1 $; CMR:$\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\geq 3 $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mathpro123]

Nguyên văn bởi trunghau227

Biết $x+y+z=1 $; CMR:$\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\geq 3 $

Đề trên không đúng, ví dụ $x=y=0,25; z=0,5 $
Đề phải là

Biết $x+y+z=1 $; CMR:$\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\leq 3 $

Ta có $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}=1 $
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3} $
$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\leq 3 $
(Dấu $"=" $ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3} $)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Jeanvaljean]

Nguyên văn bởi nguyentrai_oly

Với x,y,z là các số dương lớn hơn 2 và thỏa [M]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/M].
CMR: [M]xyz + 9\geq 4.(x+y+z)[/M]

Trong 3 số [M]x, y, z[/M] phải có 2 số cùng phía với nhau so với 3, giả sử đó là [M]x[/M] và [M]y[/M].
Khi đó [M](x-3)(y-3)\geqslant 0 \Leftrightarrow xy+9 \geqslant 3(x+y)[/M]
Mặt khác từ gt suy ra [M]xyz=xy+z+zx[/M]
Do vậy ta có [M]xyz+9 \geqslant z(x+y)+3(x+y)[/M]
ta cần chứng minh [M]z(x+y)+3(x+y) \geqslant 4(x+y+z)[/M]
Hay [M]z \geqslant\frac{x+y}{x+y-4}[/M]
Giả sử ngược lại [M]z<\frac{x+y}{x+y-4}[/M] thì khi đó:
[M]1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+\frac{x+y-4}{x+y}\geq \frac{4}{x+y}+\frac{x+y-4}{x+y}=1[/M](vô lý)
Do vậy ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[birain9x]

Bài 1:Giả sử a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3 $. CMR $ a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\leq3 $
Bài 2:Cho các số thực không âm a,b,c.CMR $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{4abc}{a^2b+b^2c +c^2a+abc}\geq 2 $ ------------------------------
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương có tổng là 3 .CMR $\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\ge \frac{3}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[extremeqx9770]

Các bạn giúp mình với, mình đang cần gấp bài này.

Nguyên văn bởi extremeqx9770

Cho 2 số thực x, y thoả mãn điều kiện $$\left\{ \begin{array}{l}
x;y \ge 0\\
{x^2} + 2{y^2} = 1
\end{array} \right.$ $
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
$$P = \sqrt {1 + 2x} + \sqrt {1 + 2y} $ $
Các bạn thử làm xem nhé. Mình làm mãi chỉ ra min thôi còn max thì bó tay

Nhân tiện, thêm một bài để mọi người thảo luận:
Cho 3 số dương $\[x,y,z\] $thoả mãn điều kiện $$xy + yz + zx = 1$ $. Tìm giá trị cực đại của biểu thức sau:
$$A = \frac{x}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {y^2}}} + \frac{{3z}}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}$ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kid3494]

Cho a, b, c > 0
CMR $\sqrt{(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})} \geq 1 + \sqrt{1 + \sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2})(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})}} $
Các bạn giúp mình bài tập này nha
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi kid3494

Cho a, b, c > 0
CMR $\sqrt{(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})} \geq 1 + \sqrt{1 + \sqrt{(a^{2} + b^{2} + c^{2})(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})}} $
Các bạn giúp mình bài tập này nha

[Only registered and activated users can see links. ]

Còn đây là lời giải của mình:
Bất đẳng thức tương đương:
$(\sum_{sym}{a})(\sum_{sym}{\frac{1}{a}})-2\sqrt{(\sum_{sym}{a})(\sum_{sym}{\frac{1}{a}})} \ge \sqrt{(\sum_{sym}{a^2})(\sum_{sym}{\frac{1}{a^2}) $
Đây là bất đẳng thức thuần nhất, không mất tính tổng quát giả sử $abc=1 $Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q $
Để ý:
$\sum_{sym}{a^2b^2}=q^2-2p $
Ta cần chứng minh: $pq-2\sqrt{pq}\ge \sqrt{(p^2-2q)(q^2-2p)}\Leftrightarrow (pq-2\sqrt{pq})^2\ge (p^2-2q)(q^2-2p) \Leftrightarrow p^3+q^3\ge 2\sqrt{(pq)^3} $ (Đúng theo AM-GM)
Ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi birain9x

Bài 1:Giả sử a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3 $. CMR $ a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\leq3 $
Bài 2:Cho các số thực không âm a,b,c.CMR $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{4abc}{a^2b+b^2c +c^2a+abc}\geq 2 $ ------------------------------
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương có tổng là 3 .CMR $\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{a+b^2}\ge \frac{3}{2} $

Bài 2:
Không mất tính tổng quát, giả sử b là số nằm giữa a và c. Khi đó ta có:
$a^2b+b^2c+c^2a+abc=b(c+a)^2+c(a-b)(c-b)\le b(c+a)^2 $
Ta cần chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{4ca}{(c+a)^2}\g 2 $
$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge \frac{2(c^2+a^2)}{(c+a)^2} $
$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2+a^2}\ge \frac{2(ab+bc+ca}{(c+a)^2} $
$\Leftrightarrow \frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{a^2+c^2}{(c+a)^2}\ge \frac{2b}{c+a} $
$\Leftrightarrow (ab+bc-a^2-c^2)^2\ge 0 $
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng nên đpcm. Đẳng thức chỉ xảy ra khi $a=b=c $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kid3494]

Các bạn giúp mình bài tập này với
Cho $x, y > 0 $
CMR $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + y^{2}}} \geq \frac{2}{\sqrt{1 + xy}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyenhuyen_AG]

Nguyên văn bởi kid3494

Các bạn giúp mình bài tập này với
Cho $x, y > 0 $
CMR $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + y^{2}}} \geq \frac{2}{\sqrt{1 + xy}} $

Bất đẳng thức này nói chung không đúng vì nếu $x,y \in [0,1] $ thì

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 + y^{2}}} \leq \frac{2}{\sqrt{1 + xy}} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[madman]

Cho $x,y,z>0 $. CMR:
$(x+y+z)^2(x^3y+y^3z+z^3x)\geq (xy+yz+zx)^3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]