|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
18-11-2016, 09:21 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2014 Bài gởi: 70 Thanks: 12 Thanked 24 Times in 23 Posts | Tìm giới hạn Tìm các giới hạn sau : a, $I= \lim_{x\rightarrow +\infty } \left [ (x+1)^{a}-x^{a} \right ]$ với $a\in (0;1)$ b, $I = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{1.1!+2.2!+...+x.x!}{(x+1)!}$ c, $I = \lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{n^{2}})(1+\frac{2}{n^{2}})...(1+\frac {n}{n^{2}})$ với $n\in N$ __________________ |
19-11-2016, 07:35 PM | #2 |
Super Moderator | Câu a. Áp dụng định lý Larange cho hàm $f\left( t \right) = {t^a}$ thì tồn tại $\xi \in \left( {x,x + 1} \right)$ sao cho \[{\left( {x + 1} \right)^a} - {x^a} = a{\xi ^{a - 1}}\] Vậy khi $x \to \infty$ ta sẽ có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^a} - {x^a}} \right] = 0\] Câu b. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot k!} }}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {n + 1} \right)! - 1}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = 1\] Câu c. Áp dụng bđt $\ln \left( {1 + x} \right) \geqslant \frac{{2x}}{{2 + x}}$ ta sẽ có \[\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right) \geqslant \frac{{2k}}{{2{n^2} + k}} \geqslant \frac{{2k}}{{2{n^2} + n}}\] Do đó \[\sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \geqslant \frac{1}{{2{n^2} + n}}\sum\limits_{k = 1}^n {2k} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2} + 1}}\] Vậy nên \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \geqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}\] Mặc khác áp dụng bđt $\ln \left( {1 + x} \right) \leqslant \frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}$ ta sẽ có \[\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right) \leqslant \frac{k}{{n\sqrt {{n^2} + {k}} }}\] Do đó \[\sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \leqslant \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{n\sqrt {{n^2} + k} }}} \leqslant \frac{1}{{{n^2}}}\sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}}\] Vậy nên \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} \leqslant \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2{n^2}}} = \frac{1}{2}\] Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln \left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} = \frac{1}{2}$ hay $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 + \frac{k}{{{n^2}}}} \right)} = \sqrt e $. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - thay đổi nội dung bởi: portgas_d_ace, 19-11-2016 lúc 07:58 PM |
The Following User Says Thank You to portgas_d_ace For This Useful Post: | hieut1k24 (22-11-2016) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|